物差しで計るときには有利数かどうかは問題にならない

質問

実際の計測ではその長さが有利数かどうかなどは問題にならないのでしょうか。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

たとえば「ノギス」の副尺。

副尺目盛りがぴったりあってれば、端数が有理数 (のはず) 。
　　↓　参考 URL / ノギスの読み方

参考URL：

http://diytool.biz/vernier-caliper-way-of-reading#i-3

お礼

勉強してみます！

回答No.6

QCD2001

＃５です。

＞虚数成分があっても実数部分しか測定できない

３０ｃｍの定規に５iｃｍのメモリをつけるとしたら、どこに付けたら良いのでしょう？

測定すると言うことは「測定」という操作を行い、最終的に「目盛りの表示」を読むことで「測定値」を得るわけです。測定を行なう測定器があり、測定結果を表示する表示部分が必要です。虚数を測定するにはどうしたらよいでしょう？5iｃｍは測れませんし、重さ５iｇの重りを測りに載せたくてもそんなものは存在しません。目盛りをつけることができませんから、虚数は測定できません。

＞実際は無理数であっても測定値は必ず実数になるということなのでしょうか。

無理数を表示できる測定器があれば、測定値は無理数になるでしょうね。と言っても
3.1415926535
と表示された場合に、これが
3.1415926535
で終わる有理数であるのか、
3.14159265358979…
と続く無理数であるのかを表示できなければなりません。測定器が、が無理数であると表示するためには、測定器が無理数であることを測定できなければなりません。
もしかしたら測定値は
3.14159265358979
で終わる有理数かもしれませんし、
3.141592653589793238…
と続く無理数かもしれませんから、測定器がこれを判断できなければなりません。そのためには、測定値が
3.141592653589793238
で終わらずに
3.1415926535897932384026…
と続くことを測定器が測定していなければなりません。
そしてさらに、
3.1415926535897932384026
では終わらずに
3.14159265358979323840264338…
と続いていることが測定できていなければなりませんし、
これが
3.14159265358979323840264338
では終わらずに・・・以下略

つまり、測定値として無理数を出力するためには、無理数の最後までが測定できていなければなりません。

最後ってどこ？

無理数ですから、最後はありませんよね。
無理数の測定値の最初の1000桁を読むのに、質問者さんは何秒で読めますか？
表示装置が1秒に1万桁を表示できたとして、1兆桁を表示するのには約3年かかります。無理数を測定値として表示したいわけですから、1兆桁では無理数を表示したことにはなりません。１京桁を表示しましょうそれには3万年かかります。これでも無理数を測定値として表示していません。1京桁の下は切捨てか四捨五入されています。

＞実際は無理数であっても測定値は必ず実数になるということなのでしょうか

四捨五入して一部だけしか表示できないあるいは測定できない、と言うことです。
「無理数を測定すると、有理数に変換される」と言うようなことではありません。

＞原子のサイズになると不確定性原理まで関係してくる

いいえ違います。不確定性原理は、自由に動ける粒子の位置を測定しようとして、光を当てたり粒子を当てたりすると、その「位置の測定」という操作によって運動量が変化してしまう、ということを言っているのです。定規を構成している原子は定規に固定されているので、不確定性原理とは無関係に位置を測定することができます。

お礼

いろいろお話しいただき大変勉強になりました。少しでも理解できるようにいたします。

回答No.5

QCD2001

数学は、（誤差論は別として）誤差がないのが前提で理論が構築されます。しかし、測定を行なう場合には、誤差があるのが前提です。

測定を行なうために、精度が極限まで精密な物差しを作ったとして、どのくらいまで精密な物差しを作れるでしょう？
物質は原子でできていますから、原子の大きさよりも小さな目盛りをつけることはできません。従って、物差しを使って極限まで精密に測定しようとしても、原子１個分の大きさよりも小さな距離は測定できませんから、原子１個の大きさである１オングストロームの整数倍の有理数になります。

従って、実際に測定を行なった場合の測定値は,、理論的に最も精密な測定器を使っても、必ず有理数になります。

お礼

物理学の測定値は虚数成分があっても実数部分しか測定できないという話を聞いてことがありますが、実際は無理数であっても測定値は必ず実数になるということなのでしょうか。原子のサイズになると不確定性原理まで関係してくるのかなとも思い、ほとんどお手上げ状態になってしまいます。

回答No.4

178-tall

蛇足。

副尺の目盛りの一例。本尺とピタリ合った目盛りがあれば、端数は分数値のはず。

つまり、有理数値で読み取れるハズ。

参考URL：

http://nsfellows.co.jp/Nogisu.htm

お礼

副尺の原理から勉強します。

回答No.2

nagata2017

直角三角形の「三平方の定理」を実証する実験で　長辺が√になる場合を
計測で検証する。
というような場面があったとしても　有理数の測定結果でもって比較する。
つまり「近似値で　証明とする。」
という結果になるでしょう。

無理数の測定結果は出せないから。

お礼

幾何の作図にしても、どこかで、いつの間にか数学的になっているのですね。作図では有理数と無理数を分けることは不可能ですね。

回答No.1

info33

>長さが有理数かどうかなどは問題にならないのでしょうか。

基本的には測定値なので, 問題にならないでしょう。

お礼

測定をいくら精密にしても数学にはならないのでしょうか。