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場合の数の問題で・・・
場合の数の問題で、少し疑問に思うことがあったので質問致しました。 0、1、2、3、4、5の数字から異なる4つの数字を取って並べて4桁の整数を作るという問題で、例えば「2300より小さい数はいくつあるか」と聞かれたとき、問題集には「全体の数ー2300より大きい数」として求めると書いてあります。 小さい数を直接求めてはいけないのでしょうか?(1で始まる4桁の整数の数と、2で始まって次が0、1、2になる4桁の整数の数を求めるやり方をしました。) どうして大きい数をひくやり方でないといけないのでしょうか? 実際、問題集に書かれている方のやり方ならば答えは合いますが、小さい方を直接求めるやり方(と自分は思っていますが、それが既に間違っているのかもしれないとも思っています)では答えが違ってしまいます。 どうして、まずは大きい数を求めなければならないのでしょうか?
- royalcrown
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- moerm
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確かにこの問題は小さいほうを先に求めたほうが早いですね。 たぶん問題集に大きいほうの数を求めて・・・と書いてあったのは、このようなパターンの問題の多くは求める数字と逆の数字を求めてから引き算したほうが速いからです。 この問題は少々例外ですね。 まず解答は 全ての数は 4×4×3×2=96 (0は1000の位に持ってこれないので) 2300以上を先に計算すると ・千の位が1の場合 4×3×2=24 で24通りです。 ・千の位が2の場合 100の位が0・1の2通りなので(100の位に2を持ってこれないのは、同じ数字を2度使えないため) 3×2=6 6×2=12 で12通りです。 よって96-24-12=60こ 気づいたとおもいますが、あなたの解答がなぜ間違ってたかというと、 ・・・2で始まって次が0、1、2になる4桁の整数の数を求めるやり方をしました。 のところで2で始まる数にもう一度2は使えません。 問題にも「異なる4つの数字を取って 」と書いてあります。
- Ishiwara
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私も問題集がヘンだと思います。小さい数を求めるほうが簡単です。
- Mr_Holland
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直接求めても構いませんし、問題集のように「全体の数ー2300より大きい数」という計算でも構いません。 大抵の問題の場合、余事象(2300より大きい数)を求めることで計算が楽になることが多いのですが、この問題では、どちらで解いても手間は同じように思います。(むしろ全体の数を勘定するだけ、余事象を求める手法の方が一手間多いようですが。) (全体の場合の数)=5×5P3=300 通り (2300より小さい数の個数)=3×5P3+3×4P2=216 通り (2300より大きい数の個数)=1×5P3+1×2×4P2=84 通り 1×5P3 の考え方: 千の位が1で、残りの5つの数字で3桁の数字を作る。 1×2×4P2 の考え方: 千の位が2で、百の位が0か1の2通りで、残り4つの数字で2桁の数字を作る。 ただ、余事象や全体の場合の数を求めておくと、検算に使えるので、一通り計算しておいたほうがよいように思います。
- KusutoFuna
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小さい数を直接求めることも出来ます。 間違えてしまうのは恐らく 2で始まるパターンを考えるときに 次が0,1,「2」になるものを求めているからだと思います。 千の位で2は使用済みですので使えず、 百の位は0か1の二択になります。
「1で始まる4桁の整数の数と、2で始まって次が0、1、2になる4桁の整数の数を求めるやり方をしました。」 先頭が「0」で始まる数は、数えましたか?
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