ものさしで計れる長さは有理数に限るのでしょうか

質問

作図された図形の実際の長さは有理数に限るのでしょうか。理論的には無理数であっても実際の図形で計れるのは無理数でないような気がするのですが・・・

回答No.4

fronteye · ベストアンサー

質問者さんは有理数か無理数かではなく、測定精度を問題にしているのではないかと思われます。

一辺10センチの正方形の対角線を定規とコンパスで正確に作図することは可能です。
その長さは10√2センチになります。
ところがその長さをどんなに精密に測っても、14.1421センチといった有限桁数でしか表すことはできません。
質問者さんは「これは無理数ではない」とお考えになるわけですよね。

この考えを当てはめれば有理数の長さも正確に測定できるとは限りません。
たとえば、長さ10センチの線分を7等分する作図は可能です。
その長さは、10/7=1.42857142857142857142857...センチになります。
でも測定結果は、1.4286センチと有限桁数で表現するしかありません。
質問者さんの考えでは「はたしてこれを10/7センチと呼んでいいのか」となるわけですよね。

測定精度には限界があり、ふつうは誤差を含みます。
上にあげた例の1.41421センチのしても±0.000005センチの誤差があり、真の値はその範囲にあると考えられます。
真の値は誰も知ることはできません。

他の方があげているように、大工さんが使う差し金などは√2を単位目盛リとしています。
これである長さを測ったら、ぴったり√2センチだったとします。
でも誤差はあるはずです。√2±0.005センチ。
この長さは無理数なのでしょうか？ 有理数なのでしょうか？

私の回答をまとめると次のようになります。
「測定精度には限界があり、ふつうは有限桁数の十進小数の形式(つまり有理数)で表わされるがその値には誤差を含んでいる。真の値は誤差の範囲内にあり、真の値が有理数であるか無理数であるかを特定することはできない。」

お礼

誤差によってむしろ無理数も計測できるような結果になっているのでしょうか。勉強いたします。ありがとうございました。

回答No.7

Ishiwara

作図した長さが有理数か無理数かを考えるのは、無意味なことです。
「有理数」「無理数」は抽象概念であって、実在しません。数学とは「モデル」を扱う学問です。「有理数」「無理数」は、モデルの中にのみ存在します。
私たちが鉛筆で正方形とその対角線を書くとき、私たちはモデルとしての正方形を頭に描いています。モノサシは、家を建てるときには有用ですが、数学の問題を解くには無用のものです。

お礼

御教示ありがとうございます。関数のグラフでも同じことがあるとは思いますが、ものさしから自由にならないと数学は理解できないのでしょうね

回答No.6

Quattro99

「ものさしで計れる」。これが、少なくとも有理数に対しては可能なことであるという前提に立っているようですから、そうであれば無理数に対しても可能であると思います。作図できますから。
無理数の作図に疑問があるということになると、それは有理数の作図にも疑問があるということになってしまうはずです。
#1さんの回答への補足に
> 無理数を目盛ることは可能なのでしょうか。
とありますが、有理数を目盛ることが可能であると考えるなら、無理数を目盛ることも可能となるはずです。逆に無理数を目盛ることは不可能なのではないかと考えるなら、同様に有理数を目盛ることも不可能ではないかとなるはずです。目盛ることが可能かどうかの疑問が無理数に対してはあるが有理数に対してはないというのはおかしくはありませんか？

お礼

なるほどと思いました。目盛りに幅があることがすでに答えなのでしょうね。御教示ありがとうございました。

回答No.5

fronteye

No.4です。

訂正

誤）上にあげた例の1.41421センチのしても±0.000005センチの誤差があり、

正）上にあげた例の14.1421センチにしても±0.00005センチの誤差があり、

お礼

ご訂正をお知らせいただいて感謝申し上げます。

回答No.3

sabashio

http://www.j-tsugawa.com/jt-sannkakusuke-rusetumei.htm
特殊目盛りのついた三角スケールがあります。
使った事が無いので、どれだけの精度なのかわかりません。

お礼

早速勉強させていただきます。御教示ありがとうございました。

回答No.2

Ichitsubo

これは精度の問題です。
「測定」は、最小目盛りの1/10の位まで読めば十分であり、それ以上を読む必要はありません。いえ、むしろ読んではいけません。

たとえば、1mm間隔の物さしを用いて、一辺が1cmの正方形を書くことを考えます。数学でいうよな、厳密に一辺が1cmの正方形を書くことができれば、その対角線の長さは厳密に√2cmであり、その数値は無理数です。
しかし、実際に作図できるのは、一辺が1.00cmの正方形です。
1.00と1とは有効数字を考慮する上では同じ値ではありません。厳密な1ともちがいます。1.00cmとは、測定した人間が最小目盛りが1mmのサシで0.1mm＝0.01単位まで正確に目盛りを読んだことを意味しています。厳密には0.995～1.005cmくらいになるでしょう。1cmでは0.5cm～1.5cm程度を意味することとなり、精度が異なってくるのです。

さて、この一辺が1.00cmの正方形ですが、この対角線の長さは1.41cmとなります。取扱上は、√2＝1.41421356...という無理数ではなくなります。これは対角線の長さを求めるのに使った一辺の長さが上から3桁程度の精度しか持っていないためです。

まあ結局、厳密な数のとりあつかいと、測定値という実務上の数のとりあつかいの差というのでしょうかね。

お礼

精度について勉強させていただきます。ご丁寧な御教示感謝いたします。

回答No.1

tent-m8

測る媒体によるのではないでしょうか。

例えば、無理数の目盛りをつけたものさしで測れば、無理数で測れる事になると思いますが・・・

補足

無理数を目盛ることは可能なのでしょうか。