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確率問題: 赤玉がなくなる確率
- 袋から白玉と赤玉を取り出す確率問題です。
- 赤玉がなくなる確率を求めるため、組み合わせを使います。
- 具体的な組み合わせの意味が分かりにくい場合、実際の状況を考えて解釈すると理解しやすいです。
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最初は問題の通りにすべての場合を書き出してみるのがわかり易いかもしれません。 「袋の中から先に赤玉がなくなる確率」ですから、何回目になくなるかは決まっていません。早ければ5回目ですし、遅ければ8回目です。また最後の回に出るのは常に赤玉です。 5回目になくなる場合、赤赤赤赤赤の1通り 6回目になくなる場合 □□□□□赤で、5つの□のうち1つだけが白だから5Ｃ1=5 通り 7回目になくなる場合 □□□□□□赤で、6つの□のうち2つが白だから6Ｃ2=15 通り 8回目になくなる場合 □□□□□□□赤で、7つの□のうち3つが白だから7Ｃ3=35 通り。したがって合計は、1+5+15+35=56 通り 起こり得るすべての場合の数は最大9回の試行のうち5回が赤（すなわち4回が白）の組み合わせの数だから、9Ｃ5=9Ｃ4=126 通り 求める確率は 56/126=4/9
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- 上野 尚人（@uenotakato）
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階乗で議論を進めることもできます。 どちらの解き方でもよいのですが、一般的に組合せの式を使ったほうが計算量が減ることが多いですね。 白をABCD、赤をEFGHIとして 9個の並べ方は全部で 9! 最後に白４つのうちどれかがくる→4通り、 残り8個は任意なので 8! よって (8! × 4) ÷ 9! = 4/9 …答
お礼
有難うございます。色んな考え方があり本当に感心します。私も回答者様達の様に数学力があったらなあと羨ましいです。 皆様のアドバイスを読んでいて自分の間違いが分かってきました。 模範解答は組み合わせで解いているのですね。 すみません、これまた上手く表現できませんが何となく分かってきました。
問題で求めるべき確率が、解説にある「9個の玉から8個の玉を取り出す時、赤が5、白が3出る確率」でいいということは、計算式はともかく理解されたということですね。 それであれば、なぜ解説にあるように考えればいいのかを補足してください。 どのように理解されたのかを知りたいということです。
お礼
＞問題で求めるべき確率が、解説にある「9個の玉から8個の玉を取り出す時、赤が5、白が3出る確率」でいいということは、計算式はともかく理解されたということですね。 考え方は理解できたのですが計算式は理解できておりません。 No2様のお礼欄で書いたような考え方をしております。
- marukajiri
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考え方としては、赤玉を5個のうちから5個取り出す組み合わせと、白玉4個から3個を取り出す組み合わせが同時に起こるので、これが何通りあるかを計算する必要があります。さらに事象の場合の数の総数は9個の玉の中から8個を取り出す組み合わせですので、これを分母にもってくることで確率が求められることになります。 赤玉を5個のうちから5個取り出す組み合わせは1通りです。 白玉4個から3個を取り出す組み合わせは4通りです。 この二つが同時に起こりますので乗法定理が適用され1×4=4通りとなります。 実際に書きだしてみても4通りしかないので、やってみましょう。 白玉にABCDと名前をつけて赤玉5個と白玉3個を取り出す組み合わせは (赤5個・ABC) (赤5個・ABD) (赤5個・ACD) (赤5個・BCD) という4通りしかありませんね。 乗法定理は二つの事象が同時に起こる時に使えるのです。 そして、9個の玉から8個を取り出す組み合わせは9通りですので、これを分母にもってきて、赤玉5個と白玉3個を取り出す組み合わせの4通りを分子にもってくれば確率がわかるのです。 CとかPとかが確率には出てきますが、それを使って計算した方が早く計算できるし、簡単なのですが、わからなければ、考えられる場合の数を全部書きだして確率を求めることも不可能ではありませんし、場合分けや総数を考えるのは確率の基本でもありますので、ピンとこない場合は、徹底的に手計算や書き出しをやって納得いくまで考えてみて下さい。
お礼
詳しく説明して下さり有難うございます。 ＞白玉にABCDと名前をつけて赤玉5個と白玉3個を取り出す組み合わせは (赤5個・ABC) (赤5個・ABD) (赤5個・ACD) (赤5個・BCD) という4通りしかありませんね。 私が疑問に思ったのは玉を一個づつ取り出すのであるから 例えば(赤5個・ABC)を例にとると （赤A赤赤赤B赤C)とか（赤B赤赤A赤赤C)等の取り出す順番は考えないのか？と思ったのです。 なので (赤5個・ABC)だけでも私は 8!/5! などと大変ややこしい事を考えてしまいます。 こんな風に考えているのでNo１様の考え方とかはすんなり頭に入ってきます。
- f272
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「それだと色が限定されないので間違ってるのもわかるのですが」と自分で言っているんだから，間違っているのはわかるんですよね。それなのに「８個の玉を取り出した時なのだから８C5,８C3の方がしっくりきます」と言われてもなあ... じゃあ，適当に私ならこう考えるというやり方を説明してみます。 全部で９個の玉があって取り出した順に並べることを考えます。最後にくるのは赤玉か白玉ですが，求めたいのは最後に白玉がくる確率ですね。 全体の場合の数は9C4です。取り出した順の並べたとき白玉の場所がどこになるかを考えています。次に最後に白玉がくる場合の数は，言い換えると最後を除く8個までに白玉が3個取り出されるということですから，その場合の数は8C3です。従って求める確率は8C3/9C4=4/9です。 いかがでしょう。
お礼
凄くよくわかる考え方です。要するに私は並び方がピンときていないのです。 回答者様の考え方なら納得がいきます、それにしても色んな角度から考える事ができるのですね。 有難うございました。
お礼
とても分かりやすいです。この解き方だと完璧に分かります。 模範解答も１００％理解したいのですがコツコツやっていきます。 有難うございました。