変数変換の条件を教えてください

質問

お世話になります。

ある2変数関数 u(x, y) に関する2階の偏微分方程式を解こうとしています。
このとき、x, y から s(x, y), t(x,y) に変数変換して解くとすると、s と t が満たす必要のある条件はどのようなものでしょうか？

例えば極端な例ですが、 s(x,y) = t(x,y) = 0 というのは直感的にダメだと思います。
他にも s(x,y) = x + y, t(x,y) = 2x + 2y もs と t で平面を張ることができないのでなんとなくダメなような気がします。

実際、どのような条件を満たす必要があるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(s,t)平面から(x,y)平面へのC1級の1対1写像があって、
x=φ(s,t)
y=Φ(s,t)
とする。
(∂φ/∂s)(∂Φ/∂t)-(∂φ/∂t)(∂Φ/∂s)が考えている領域でのすべてで0でない
という条件があれば、有効な変数変換となる。

お礼

ありがとうございます！
ひらたく言うと「1対1の対応があって逆方向にも変換できること」ということと理解しました。