欠円の計算で高さを求めたい

質問

欠円（割円）の計算で面積Ａと半径ｒが判っているのですが
それから高さＨを求める式があれば教えてください

回答No.5

noname#230359 · ベストアンサー

回答(3)です。

後記のPerlスクリプト(力技)で、
半径r=10,面積=100→高さh=18.18652225
半径r=10,面積=300→高さh= 7.10505817
と求めることができました。

一発で求めるスマートな式もあるはずですが、私では力不足です。

------------------------------
use strict;
use warnings;
my $r = 10; # 円の半径
my $a_a = 100; # 欠円の面積
my $pi = 3.141592653;
if($a_a <= 0 or $pi * $r**2 < $a_a){
die"a_a range error\n";
}elsif($a_a < $pi * $r**2 / 2){
my($h_min, $h_max) = (0, $r);
my $h;
while(1){
$h = ($h_min + $h_max) / 2;
# 円の面積
my $a_1 = $pi * $r**2;
# 扇形の面積
my $a_2 = $a_1 * (2 * atan2(sqrt($r**2 - ($r - $h)**2), $r - $h)) / (2 * $pi);
# 3角形の面積
my $a_3 = sqrt($r**2 - ($r - $h)**2) * ($r - $h);
# 欠円の面積
my $a_4 = $a_2 - $a_3;
if($a_a - 0.0000000001 < $a_4 and $a_4 < $a_a + 0.0000000001){
last;
}elsif($a_4 < $a_a){
$h_min = $h;
}else{
$h_max = $h;
}
# print"h_temp = $h\n";
}
print"h = $h\n";
}else{
my($h_min, $h_max) = ($r, $r * 2);
my $h;
while(1){
$h = ($h_min + $h_max) / 2;
# 円の面積
my $a_1 = $pi * $r**2;
# 扇形の面積
my $a_2 = $a_1 * (2 * $pi - 2 * atan2(sqrt($r**2 - ($h - $r)**2), $h - $r)) / (2 * $pi);
# 3角形の面積
my $a_3 = sqrt($r**2 - ($h - $r)**2) * ($h - $r);
# 欠円の面積
my $a_4 = $a_2 + $a_3;
if($a_a - 0.0000000001 < $a_4 and $a_4 < $a_a + 0.0000000001){
last;
}elsif($a_4 < $a_a){
$h_min = $h;
}else{
$h_max = $h;
}
# print"h_temp = $h\n";
}
print"h = $h\n";
}
------------------------------

訂正です。
(誤)------
半径r=10,面積=100→高さh=18.18652225
半径r=10,面積=300→高さh= 7.10505817
----------
(正)------
半径r=10,面積=100→高さh= 7.10505817
半径r=10,面積=300→高さh=18.18652225
----------

Excelのソルバーを自前でやるようなものです。
ソルバーだと収束しないことがありますが、上記ですと確実に追い込めれます。

お礼

ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑを組んでやるものでしょうか
私ではよく理解できませんが、内の技術員にこの内容を見せて
やってもらおうと思います
大変有難うございました

回答No.6

noname#230359

お恥ずかしい話ですが、今回は確認をしておきました。
赤面の至りですが、兼好法師によれば恥をかいて上達するものだそうです。

公式Ａ＝（1/2）{ｒL-C(ｒ-H）}
を角度をラジアンで表しΦ、半径をＲとすると
Ａ＝{（Ｒ＾２）/２}*(ΦーsinΦ）つまり
（２Ａ/Ｒ＾２）＝ΦーsinΦ

ここで、
　cos(Φ/2)＝１－Ｈ/Ｒ です。
アーク・コサイン　ＡＣＯＳという関数をつかうと
　　　Φ/２＝ＡＣＯＳ（１－Ｈ/Ｒ）
Φ＝２＊ＡＣＯＳ（１－Ｈ/Ｒ）

なので
　2Ａ/(R^2）＝　{2＊ACOS(1-H/R)}－sin{2＊ACOS(1-H/R)

これは、エクセルで計算できます。計算法は
(A,1)：2A/(R^2),(A,2):計算用の数値
(B,1): H, (B,2):計算用のHの数値
(C,1): R, (C,2):計算用のRの数値
(D,1): 1-H/R, (D,2): =1-(B,2)/(C,2)
(E,1): 2＊ACOS(1-H/R)}, (E,2): =2*ACOS(D,2)
(F,1): sin{2＊ACOS(1-H/R), (F,1): =sin(E,2)
(G,1): {2＊ACOS(1-H/R)}-sin{2＊ACOS(1-H/R), (G,2): =(E,2)-(F,2)

ACOS　アークコサインはエクセルの中にあります。
適当なHを与えて、計算された(G,2)と(A,2)を比較して
その差が十分小さくなれば計算終了です。

念のために、
Ｈ＝10，Ｒ＝10
Ｈ＝0，Ｒ＝10を計算して確認しております。
さらに、Ａ＝100，Ｒ＝10のとき、Ｈ＝7.10506
を確認しております。R>Hなので矛盾はありません。

Ａ＝300、Ｒ＝10としますと、元の円の面積はπR^2=314
で半円の面積は157です。
半円より大きな欠円にも当てはまる式かどうかの確認
ができていません。

どうやら間違ったことを以前に書いたので、気になって仕方が
ありませんでした。お詫びして訂正します。

お礼

訂正有難うございます
先に書かれています計算ループプログラムと今回のexcel用のを参考にして
excelでできるように作ってみます

皆様の回答有難うございました

回答No.4

noname#230359

面積（Ａ）は公式よりＡ＝（1/2）{ｒL-C(ｒ-H）}
L（扇部分の円弧の長さ）＝（ｒθπ）/180
C（円と直線が交わったところの長さ）
θ（扇形の角度）
*************************************************
ご質問内容が分かったので計算してみました。
面倒なので角度をラジアンで表し、Φ＝θπ/180 とすると、

その結果、Ａ＝（1/2）[(ｒ^2)Φ-2{sin-(C/2r)}(ｒ-H）]・・(1)
ただし、sin-(C/2r)はアーク・サインと読みますが
　　sinΦ＝(C/2r)を満たす角度で、電卓で計算できます。

問題は、（１）式をご覧になればわかるように、
半径ｒ、高さＨ、がわかっただけでは面積Ａが決まらないことです。

逆に言えば、面積Ａと半径ｒの二つから、高さＨは決まりません。
・・・・決める式は存在しません。

もうひとつの情報、
角度θ（Φ）とか、弦の長さＣとか、弧の長さＬ、とか
がないと欠円の寸法が決まりません。

お礼

有難うございました

回答No.3

noname#230359

>欠円（割円）の計算で面積Ａと半径ｒが判っているのですが
>それから高さＨを求める式があれば教えてください

下図で考えれば良いのでしょうか？
-----
http://www.jpdo.net/link/1/img/16871.jpg
-----

お礼

図解ありがとうございます
図面の通りです
Ｈを求める式がわかりましたら、宜しくお願いします

回答No.2

noname#230359

高さＨを求めたいとのことですが、平面図形についてのお問い合わせでしょうか。
あるいは、＃１さんご回答のように立体を想定なさっているのですか？

欠円の弦と弧の長さ、面積の関係などについては、ざっくり検索したところ
以下のような情報が引っかかりました。これらは、平面図形の場合です。

http://qanda.rakuten.ne.jp/qa2156315.html
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1041452565

お礼

有難うございました
欠円の弧か弦の質問がでていましたのを確認しました
面積と円の半径しかわからない状態から、弧か弦がわかれば
高さが導けそうです
excelでｺﾞｰﾙｼｰｸかｿｳﾊﾞｰでできると書いてあるので、試してみます

回答No.1

noname#230359

欠円というのがよく分からないのですが、半径ｒの円から
扇形をのぞいたものですか？
これから作った三角錐の高さＨを求めればよいのですか？

それなら扇形の角度をθ（ラジアン）とすれば、
円の面積πｒ＾２　から扇形の面積（πｒ＾２）（θ/２π）を引く。

そうするとＡ＝πｒ＾２－（πｒ＾２）（θ/２π）
　　　　　　＝πｒ＾２ {（２π－θ）/２π}
　　　　　　＝ｒ＾２ {（２π－θ）/２}

Ａとｒは分かっているので、θ＝２πー２Ａ/（ｒ＾２）

三角錐の底面は円ですが、この円の周囲Ｌは元の円の周囲から扇形
の弧の部分を除いたものですから、
Ｌ＝２πｒ－ｒθ＝ｒ（２π－θ）
これから、この円の半径をＲとすると
　　Ｌ＝２πＲ
　　Ｒ＝Ｌ/（２π）＝ｒ{（２πーθ）/（２π）}

三角錐を真横から見れば、高さＨ、底辺Ｒ、斜辺ｒの直角三角形。

従って、ｒ＾２＝Ｒ＾２＋Ｈ＾２

　　Ｈ＾２＝ｒ＾２－Ｒ＾２
　　　　　＝ｒ＾２　[１－{（２πーθ）/（２π）}＾２　]

Ｈ＝　ｒ　√ [１－{（２πーθ）/（２π）}＾２　]

補足

回答ありがとうございました
欠円と書いたのは、扇形から三角形となる部分を除いたもので
円に直線を１本引いたとして、その線と円で区切られた部分の面積と半径が
判っている場合に円と直線までの高さＨを求める方法がわからなかったのです
面積（Ａ）は公式よりＡ＝（1/2）{ｒL-C(ｒ-H）}
L（扇部分の円弧の長さ）＝（ｒθπ）/180
C（円と直線が交わったところの長さ）
θ（扇形の角度）
上記のように本に計算式がでていますが、面積が変わった時のＨを求めたいのです
実際には円筒のものから、バランス加工の為に一部分を削除したいので高さが必要になります
説明が足りませんでした、宜しくお願いします