球欠を球の中心を通る平面で分割した図形の体積

質問

次についてお教えいただけるかた、お手数ですがよろしくお願いします。

原点を中心にした球を元に球欠（球の一部分を平面で切り取った図形）を作ります。
（図の例では中心からの高さｈの平面で切り取った上の図形）
その図形を更に球の中心を通る平面で切り取ったときにできる図形の体積を求めることはできるでしょうか。
元の球の半径ｒ、球欠底面と球の中心との距離ｈ、球欠底面の半径ａ、最後に切り取ったときに球欠の底面にできる弦の長さｃはわかっているものとします。

回答No.5

noname#199771

#2のお礼欄について。

そういうことでしたら、手計算にこだわらずにモンテカルロ法を
使って処理したほうが目的のデータを得るには効率がよいかも
しれませんよ。

#1で触れましたが、計算の結果である体積を表す式は異様に
長いので手計算だと途中で間違える可能性が高いですし、数値
を入れるときにどのみち誤差が発生しますから。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、モンテカルロ法もありますね。
このたびの計算は固い方法から得られる結果でないといけないので検算に使ってみます。(有効数字が沢山いるわけではないのでエクセルなどの数値計算誤差程度はOKです）

球面部面積が必ず安全側（近い精度で大きめ）に出る簡易な計算手法があればそれでも良いのですが・・・。

回答No.4

info22_

特徴点に記号が付けてないので図を使う説明は省略します。

球欠の体積V1は
V1=π∫[h,r](r^2-z^2)dz
=(π/3)(2r+h)(r-h)^2
球欠を球の中心を通る平面で２つに分割した時の小さい方の体積をV2とすると大きい方の体積V3は
V3=V1-V2
で求まる。従ってここではV2を求めることにする。
b=√(a^2-(c/2)^2),d=√(r^2-(c/2)^2),
y1=b,y2=(b/d)(√(r^2-x^2)-d)
と置くと
S1=∫[y1,a] √(r^2-x^2-y^2)dy
=(1/2)(r^2-x^2){sin^-1(a/√(r^2-x^2))
-sin^-1((1/2)√((4a^2-c^2)/(r^2-x^2)))}
+(a/2)√(r^2-x^2-a^2)-(1/8)√(4a^2-c^2)*√(4r^2+c^2-4x^2-4a^2)
S2=∫[y1,y2] (h/b)y dy
=h{r^2-x^2-√((4r^2-c^2)(r^2-x^2))}√(4a^2-c^2)/(4r^2-c^2)
S=S1+S2
V2=2∫[0,c/2] S dx
=(√(c+2a)*(3(2a-c)(-16r^4+16a^2*r^2+c^4-4a^2*c^2)*
sin^-1(c/√(4r^2+c^2-4a^2))+8c^3*(2a-c)h)+24a√(2a-c)(4r^2-c^2)(r^2-a^2)
sin^-1((c/2)/√(r^2-a^2))-48h(2a-c)√(c+2a)*sin^-1(c/(2r))*(r^2)√(4r^2-c^2)+6c√(c+2a)*√(r^2-a^2)*
(c-2a)(4r^2-c^2)+6ac(4r^2-c^2)√(2a-c)*√(4r^2-c^2-4a^2))/(48(4r^2-c^2)√(2a-c))
= ...　←後は式を整理するだけ。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
詳しい式でお手数をかけていただきありがたいです。
ただ、私にはかなり高度なご回答でＳ１、Ｓ２、Ｓの積分を解く方法がわかりません。できましたら、例えば、置換積分を使っている、など解説を入れてくださいますよう恥ずかしながらお願いします。
上記が解っていないのに不躾ですが、積分範囲はｙ１（＝ｂ）を使うとｘによる値の変化が無いので良くないと思いますが、最後の式でそれぞれ直していただいている様なことでしょうか。

回答No.3

noname#199771

#2で図を添付し忘れました。失礼。

回答No.2

noname#199771

#1で

＞x軸に垂直な平面で切った部分の面積を計算し、
＞それを-a/2≦x≦a/2の上で積分すればいいです。

と書きました。紛らわしくてすみませんが、質問文に添付
された図でのcをここではaとしたのでご注意を。

これについて加筆します。
x軸に垂直な平面で切断したときの断面積S(x)を計算
するには、添付の図を使います。

ξ=√((r^2-x^2)(r^2-(a^2/4)-h^2)/(r^2-(a^2/4)))
として、
S(x)=(1/2)ξ√(r^2-x^2-ξ^2)+∫[y=ξ～√(r^2-x^2)]√(r^2-x^2-y^2)dy
です。

このS(x)を積分すればよいです。

ちなみに一連の球の問題の出処はどこですか？何か
の課題を解くために想定した問題？表面積のときもそ
うでしたが問題が不完全なので少し気になりました。

お礼

ご回答ありがとうございます。まだ十分理解できておりませんが、とり急ぎお礼と補足を申し上げます。
＞ちなみに一連の球の問題の出処はどこですか？何かの課題を解くために想定した問題？表面積のときもそうでしたが問題が不完全なので少し気になりました。

建築物への雷撃想定のため電気幾何学法を適用する検討をしています。肝心の数学の部分が私の能力では如何ともし難く、達者な方のお力とご厚意に助けていただいている次第です。問題の作成が不行き届きなところは申し訳ありません。
前回の問題で、球面が検討対象物への雷撃範囲、水平平面が大地への雷撃範囲、斜めの平面が他の建築物（遮へい物）への雷撃範囲の球面と重なってできる遮へいの境界になり、対象物への雷撃範囲の面積を計算しようとしています。

回答No.1

noname#199771

素直に積分してください。
なにも難しいところはありません。

＞切り取ったときにできる図形

前の質問のときもそうでしたが、これだとどっちだかわからず
無用な場合分けを強いるので、どれのことを言っているのか
指定しましょう。

2つあるうちの小さい方だとして、

x^2+y^2+z^2≦r^2
z≧h
z≧(h/√(r-(a^2/4)-h^2))y

の体積を計算。x軸に垂直な平面で切った部分の面積を計算し、
それを-a/2≦x≦a/2の上で積分すればいいです。

計算自体は易しいのですが、ここに書くのは分量が多くて異様に
大変なので自分で計算してください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、ここは積分ですか。
解けないものではないとは思いますので自分で計算をする努力をしますが、私には簡単ではないので、答か計算のポイントをご教示いただけないかと期待します。

ｙ＝０における球と斜めの切り口との交点で場合分けをする。球の中心に近い方はx軸に垂直な平面で切ったときに現れる図形は四角形と扇形とで構成される図形であり、球の中心から遠い方は弓形の図形であって、・・・
のようになるのだろうと思いますが。