数学IIIです！

質問

教えてください！！

回答No.1

noname#231363

(1)
曲線y=x^2（0≦x≦h）をy軸のまわりに1回転してできる形の容器の体積Vは、
V=π∫[0→h]x^2dy=π∫[0→h]ydy
この両端の辺をhで微分して、
ｄV/dh=πh－(a)
題意からdV/dt=-a√hであり（体積は減少）、dV/dt=dV/dh・dh/dtであるから、
これに式(a)を代入して、
πh・dh/dt=-a√h→dh/dt=-a/π√h－(b)
これは、水深hがa/π√hの速さで減少するということです。

(2)
t=0のときh=1であるから、t=Tのときh=0となる条件からTを求めます。
式(b)から、∫√hdh=- a/π∫dt
よって、2h^(3/2)/3=- at/π+C
ここで、t=0のときh=1となる条件から、C=2/3
したがって、2h^(3/2)/3=- at/π+2/3
さらに、t=Tのときh=0であるから、
- aT/π+2/3=0→T=2π/3a