数学III

質問

a≧b＞0のとき、a-b≧log(a+1)-log(b+1)が成り立つという証明を教えてください

回答No.2

f272

f(x)=log(x+1)-xという関数を考えると
f'(x)=1/(x+1)-1でありx>0の範囲ではf'(x)<0となって単調に減少します。
従って
a≧b＞0のときlog(b+1)-b≧log(a+1)-aとなって
a-b≧log(a+1)-log(b+1)
です。

回答No.1

tmppassenger

その1
t>0の時1+t>1である故、1 > 1/(1+t)となる事、及び (d/dt) (log(1+t)) = 1/(1+t)であることに注目すれば、
log(a+1) - log(b+1) = ∫[b≦t≦a] (1/(1+t)) dt ≦ ∫[b≦t≦a] 1 dt = a-b
となって成り立つ。

その2
a=bの時は明らか。
a>b>0の時は、やはり (d/dt) (log(1+t)) = 1/(1+t)であるから、平均値の定理よりあるb<c<aなるcが存在し、
{ log(a+1) - log(b+1) } / (a-b) = 1/(1+c) < 1 が成り立つ。従って、log(a+1) - log(b+1) < a-bである。