数学III

質問

lim(f(x)＋2x^3)/x^2＝-5 , limf(x)/(2x-1)＝-7/4
x→∞　　　　　　　　　　 x→1/2

を満たす整関数f(x)を求める問題なんですが、全然わかりません。
どうか教えて下さい。
できれば過程も・・・・・

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。
面白い問題ですね。
やったことがないですけど、チャレンジしてみます。

lim[x→∞]（ｆ（ｘ）＋２ｘ^3）／ｘ^2　＝　－５
極限が－５という有限の数になるということは、ｆ（ｘ）には、－２ｘ^3 という項があり、ｘ^4 以上の項はないはず。
よって、
ｆ（ｘ）　＝　－２ｘ^3　＋　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
と置ける。

lim[x→∞]（ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ）／ｘ^2
　　＝　lim[x→∞]（ａ　＋　ｂ／ｘ　＋　ｃ／ｘ^2）　＝　－５
よって、
ａ＝－５

よって、
ｆ（ｘ）　＝　－２ｘ^3　－　５ｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
と置ける。

次に、
lim[x→1/2]ｆ（ｘ）／（２ｘ－１）　＝　－７／４
ということは、
ｆ（ｘ）／（２ｘ－１）　＝　（ｘ＝１／２のとき－７／４になる式）・（２ｘ－１）／（２ｘ－１）
となるはず。

よって、
ｆ（ｘ）＝　－２ｘ^3　－　５ｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
には、２ｘ－１　という因数がある。

ｆ（ｘ）　＝　－２ｘ^3　－　５ｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
　＝　－ｘ^2・（２ｘ－１）　－　ｘ^2　－　５ｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
　＝　－ｘ^2・（２ｘ－１）　－　６ｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
　＝　－ｘ^2・（２ｘ－１）　－　３ｘ（２ｘ－１）　－　３ｘ　＋　ｂｘ　＋　ｃ
　＝　－ｘ^2・（２ｘ－１）　－　３ｘ（２ｘ－１）　＋　ｄ（２ｘ－１）
　＝　（－ｘ^2　－　３ｘ　＋　ｄ）（２ｘ－１）
と置ける。

lim[x→1/2]ｆ（ｘ）／（２ｘ－１）　＝　－７／４
lim[x→1/2]（－ｘ^2　－　３ｘ　＋　ｄ）＝　－７／４
－（１／２）^2　－　３・１／２　＋　ｄ　＝　－７／４
－１　－　６　＋　４ｄ　＝　－７
ｄ＝０

よって、
ｆ（ｘ）　＝　（－ｘ^2　－　３ｘ　＋　ｄ）（２ｘ－１）
　＝　（－ｘ^2　－　３ｘ　＋　０）（２ｘ－１）
　＝　（－ｘ^2　－　３ｘ）（２ｘ－１）
と出ました。
展開すれば、
ｆ（ｘ）　＝　－２ｘ^3　－５ｘ^2　＋　３ｘ
です。

検算

lim[x→∞]（ｆ（ｘ）＋２ｘ^3）／ｘ^2　＝　lim[x→∞]（－５ｘ^2　＋　３ｘ）／ｘ^2
　＝　lim[x→∞]（－５　＋　３／ｘ）
　＝　－５

lim[x→1/2]ｆ（ｘ）／（２ｘ－１）　＝　lim[x→1/2]（－ｘ^2　－　３ｘ）（２ｘ－１）／（２ｘ－１）
　＝　lim[x→1/2]（－ｘ^2　－　３ｘ）
　＝　－１／４　－　３／２
　＝　－７／４

合いました。

自分が楽しんでしまいました。（笑）

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございました！！
とてもわかりやすかったです。

回答No.3

arrysthmia

パッと見て、何となく思いついたので、
過程は上手く書けませんが、例えば、

f(x) = -2x^3 -5x^2 +5x -1 -sin(2x-1)

は、条件を満たしていると思います。
検算してみましたが、成立していました。

回答No.2

KitCut-100

f(x)=a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 +,,,,,,,,,,,,,,とおきます。
第一式より、x->∞で 有限の値をとりそれが-5ですので,
a3=-2 a2= -5 a4=a5=,,,,,=0
となります。 次に第二式より x=1/2で有限の値をとりますので f(1/2)=0
f(1/2)= a0 + 1/2*a1 -5/4 - 2*(1/8)=0 この式より
f(x)= a1(x-1/2) -(2x^2+6x+3)(x-1/2)
となります。

よって f(x)/(2x-1)= a1/2-(2x^2+6x+3)/2
よってlim f(x)/(2x-1)= a1/2 -(1/2+3+3)/2=-7/4 a1=3 a0=0
よって f(x)=3x -5x^2 -2x^3
となります。