数学III

質問

y=FXのグラフの凹凸と、二次導関数y"の値の正負が対応する理由を述べよ

回答No.1

muturajcp

y=f(x)
とする
a<x<bのとき
f(x)-f(a)=(x-a)f'(s)
a<s<x
となるsが存在する
f(b)-f(x)=(b-x)f'(t)
x<t<b
となるtが存在する
a<s<x<t<b
s<t

f"(x)≧0のとき
f'(x)は単調増大だから
f'(s)≦f'(t)
{f(x)-f(a)}/(x-a)=f'(s)≦f'(t)={f(b)-f(x)}/(b-x)
{f(x)-f(a)}/(x-a)≦{f(b)-f(x)}/(b-x)
だから
f(x)は凸

f"(x)≦0のとき
f'(x)は単調減少だから
f'(s)≧f'(t)
{f(x)-f(a)}/(x-a)≧{f(b)-f(x)}/(b-x)
だから
f(x)は凹

f(x)が凸のとき
a<x<bのとき
{f(x)-f(a)}/(x-a)≦{f(b)-f(x)}/(b-x)
だから
{f(x)-f(a)}/(x-a)≦{f(b)-f(a)}/(b-a)≦{f(b)-f(x)}/(b-x)
だから
f'(a)=lim_{x→a}{f(x)-f(a)}/(x-a)≦{f(b)-f(a)}/(b-a)≦lim_{x→b}{f(b)-f(x)}/(b-x)=f'(b)
f'(a)≦{f(b)-f(a)}/(b-a)≦f'(b)
f'(a)≦f'(b)
f'(x)は単調増大だから
f"(x)≧0

f(x)が凹のとき
a<x<bのとき
{f(x)-f(a)}/(x-a)≧{f(b)-f(a)}/(b-a)≧{f(b)-f(x)}/(b-x)
だから
f'(a)≧{f(b)-f(a)}/(b-a)≧f'(b)
f'(a)≧f'(b)
f'(x)は単調減少だから
f"(x)≦0