全微分、偏微分の物理的なイメージ

質問

計算は追えるのですが、全微分のイメージが湧きません。
物理では、何か具体的にイメージできるものがあるのでしょうか。

回答No.2

hue2011 · ベストアンサー

偏微分というのは次元が2つ以上あった場合に、片方の動きを止めて片方だけ動かすような計算をすることです。そして止めたほうの動きをちょっと動かしてまた計算し直すなんていうことをしたら、3次元の波動グラフみたいなものを描くことができます。もちろん4次元5次元と増やせますけど、可視化した表現でそれを表現することはできません。

全微分というのは1次元だけであり、すべての動きはある座標だけにしたがってやることなので、誤解なく計算が成立します。

基本的には、偏微分で1次元以外を止めて行う計算は全微分なんです。
現実の物理的現象は複雑な要因の変化が存在しますから必ず偏微分の式で表現することになります。

お礼

コメント有難うございます。
オイラー的表現とラグランジュ的表現が気象学の教科書で出てきて、今市全微分をどうイメージしたらいいのか・・・。

回答No.3

jamf0421

z=f(x, y)があるとき
Δz=f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y)＝AΔx+BΔy+ερ...(i)
と書けて、A, BはΔx, Δyに関係しない係数、即ち(x, y)において一定の値を採るもの、ρ=((Δx)^2+(Δy)^2)^(1/2)は、(x,y)と(x+Δx, y+Δy)の距離、εはΔx, Δyに関係するが、ρ→0のときε→0は成立するものであるならば、zは(x,y)に於いて微分可能うといい、A=∂z/∂x, B=∂z/∂yが示せます。
ｚが微分可能であるとき、一次式(∂z/∂x)Δx+(∂z/∂y)Δyをzの全微分といいdzであらわします。この式は
dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy...(ii)
とかけることになることは容易に示せます。
dz=∂z/∂x)Δx+(∂z/∂y)Δy...(iii)
は(x, y)でのz=f(x,y)に接する平面に対応します。接平面上の流通座標をX, Y, Zとかけば
Z-z=(∂z/∂x)(X-x)+(∂z/∂y)(Y-y)...(iv)
が接平面の方程式の定義です。
さらにf(x,y)について∂f/∂x=fx, ∂f^2/(∂y∂x)=fxyなどと書くとき、ある領域でfxy, fyxが連続であるならば、その領域で
fxy=fyx...(v)
が成立します。

物理的意味とかだと、完全微分の方がImageしやすいと思います。
連続微分可能なφ(x,y), Ψ(x,y)があって、φdx+Ψdyがある関数Fの全微分だったとします。
dF=φdx+Ψdy...(vi)
この時φ=∂F/∂x=Fx, Ψ=∂F/∂y=Fyです。φ、Ψが連続だから
Fxy=φy=Fyx=Ψx...(vii)
となります。(vii)が(vi)完全微分であるための必要条件です。十分条件は考えている領域が単連結であるとき成立します。（単連結は当該領域内Kで閉曲線Cを書いたとき、その閉曲線Cの内部の点がすべてKに属しているということです。）
完全微分の場合F(x,y)の(xo,yo)から(x,y)までの線積分が両点をむすぶ経路に依存しない、ということが簡単に証明できます。従って2変数の関数で完全微分の要件を満たしているものはポテンシャルの性質を持ちます。山の途中の二点を採ったとき、二点の間の高低差は登山経路と関係ないのと同じです。熱力学の変数
dU=TdS-PdV
dH=TdS+VdP
dF=-SdT-PdV
dG=-SdT+VdP
などはこの性質をもつのでU、H、F、Gなどは変化前後の状態さえきまれば変化量ΔU, ΔH, ΔF, ΔGは途中経路によらず一意的に決まります。

お礼

丁寧な回答有難うございます。
数式は終えるのですが、気象学の本でラグランジュ的、オイラー的表現が出てきて、今一ピンと来ないのです・・・。

回答No.1

nihonsumire

こんな回答がありました。ご参考までに。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1039880575