数値流体力学におけるCIP法について

質問

数値流体力学以外でも利用されていると思いますが（電磁気学とか）、CIP法という計算法があります。書籍も多数出版されており、多くの論文・報告書がネットでも見ることができます。私も一部利用していて結果を見ても良好なものだと思われます。いろんなバージョンがあると思いますが、この計算法の原理は計算格子の内部を３次関数で精度よく近似して、その関数を使って求めたい点での物理量の時間的な変化を求めること、と要約できると思います。その関数を求める（関数に出てくる係数を求める）ために様々な量（変数だけでなく変数の微分値など）の連続性の条件を用いて条件設定して関数の係数を決めていく、ということになります。その場合、物理量の連続性というのが絶対の条件となるのですが、例えば、多孔質とか流れの中に固体とかが入っていて必ずしも連続的ではない場合、どのように処理するのだろうという疑問が出てきます。流体系の論文を見ると計算領域に一様に広がっている流体の空間がある、ということが前提になっているようでそれだったら計算プログラムも標準的なもので済むのですが、そのような美しい状況ではなく、異質なものがランダムにあるような場合（知りたい点のすぐ近傍にもうそれがあるとか）、どうなるのだろうという疑問があるのです。過去の研究はそれがなく、一様で美しい条件での結果が示されており、異質なものがランダムに分布している”汚い”条件でも計算できるのだろうかという質問です。あるいは水と空気でもいいのですが、別のものであり、水の流速の連続性という仮定は成立しないと思われます（片方は風速）。
CIP法は新しいものが次々と出ているようなので今ではその辺はクリアになっているだろうとは思いますが、どのようになっているでしょうか。応用物理のような分野では広く使われているものだと思いましたのでお尋ねしました。
よろしくお願いします。

回答No.2

ddtddtddt

#1です。

　こういう言い方は余りしないかも知れませんが、メソスケールの問題ですね。

　例えばマクロスケールなら、ビーカーの壁面だけが不透過境界で、中は一様な流体が拡がってる話になります。砂粒などが統計まで行くような細かい乱雑さで混じっていれば、ミクロスケールで一様に砂粒が混じっていると仮定して仮想流体を作り、結局はマクロスケールの問題に帰着可能です。

　メソスケールは、一番解きにくい問題です。

　まずビー玉程度なら、頑張ればビー玉の全表面を3次元的にデータ化し、マクロスケールの問題として扱えます。だってビー玉は目に見えるんだから、やりゃ～出来ます（大変だけど(^^;)）。

　もう一つは適当な大きさの試験体積を取り、その中にビー玉の体積を平均化したと想定できる規則的な障害物を置いて計算し、その計算結果から現状に合わせて流体法則を見かけ上は修正する事です。これは結局、ミクロスケール→マクロスケールへの帰着と同じです。

　そしていずれの場合においても、CIP法における「保存則」は当然成り立つ、という事になります。

　それは有限要素法を使おうと、境界要素法や差分法を使おうと、それはそうなんですよ(^^;)。

回答No.1

ddtddtddt

CIP法はあまり使いませんが、一般的な話として。

　物理量の連続性自体は、対象が何であっても原理的にはいつも成り立つ事になると思います。たとえ固体が混じっても、空気と水が混じっても。それは連続性を要求される物理量が、運動量やエネルギー，流量（質量保存則に対応）などだからです。

＞流体系の論文を見ると計算領域に一様に広がっている流体の空間がある・・・

　なので第一近似としては、「一様に混じってる」と仮定して、混じってる純物質の平均的な特性を持つ仮想流体で考える事だと思います。例えば、空気と水から「水蒸気」を作る訳です。水蒸気を作る平均操作は、水蒸気圧などからなんとなぁ～く想定できそうに思えませんか？(^^;)。「一様に混じってる」は「ランダムにある」とほぼ同等な状況です。

　こういう事は、流体でなくてもけっこうされます。例えば材質の違う板を貼り合わせた合板の伸びなんかを知りたい場合は、材質が一定な重なった板の厚さに応じてそれぞれの板の弾性係数を平均し、合板の弾性係数を想定したりします。

　そういう訳で、「ランダムにない」方が困ります(^^;)。

お礼

回答頂き、有難うございます。回答もらえないかなと思っていたところでした。私はランダムと言ってしまいましたが、統計力学に任せてしまうしかないような意味でのランダムではないのです。例えば、ビーカーにビー玉を目いっぱい入れてそこに水を注ぎ、間隙を水で満たしたような状態を考えます。球体の空間の充てんなのだから、空隙はランダムとは言えないと思いますが。そのような空隙での流れを流体力学で計算するような場合、空隙の形状を考えて計算するわけですが、すぐ境界が迫っているような空間での計算なのでCIPでも難しいのではないかという趣旨の質問です。ビー玉の半径がいろいろだったら空隙の形状はますます複雑になります。”ランダム”と言ったのはそういう意味であり、統計まではいかない複雑さという意味でした。