FAQですが...

質問

(1) 4 次曲線　 C; -x^4 - x^3 + 2 x^2 y + 9 x + y - 2 = 0 の二重接線を求め
(2) Cとその二重接線とで囲まれた部分の面積を求めて下さい;

回答No.2

info33

No.1です。

ANo.1.のCと求めた共通接線のグラフと(2)で求める面積の領域を描いたものを添付しますので参考にしてください。

求める積分の積分範囲 a≦x≦b の下限aと上限b(>a)は、方程式
32 x^8 +208 x^6 +608 x^5 -1324 x^4 +1976 x^3 +1100 x^2 -532 x -377 = 0
の２つの実根(共通接線の２つの接点のx座標)になります（他の根はすべて虚数根になります）。

回答No.1

info33

(1)
C; -x^4 -x^3 +2x^2y+9x+y -2 = 0
→ y=f(x)=(x^4+x^3-9x+2)/(2x^2+1)
y'=f'(x)=(4x^5+2x^4+4x^3+21x^2-8x-9)/(2x^2+1)^2
二重接線: y=f'(a)(x-a)+f(a)
f(x)-f'(a)(x-a)-f(a)=k(x-a)^2 (x-b)^2/(2x^2+1) , (a<b)
(x^4+x^3-9x+2)-{f'(a)(x-a)+f(a)}(2x^2+1)=(x-a)^2 (x-b)^2, k=1.

{(2b(2a^2+1)-38a^2+18*a+19)x^3+(-(2*a^2+1)^2*b^2-4ab(2a^2+1)^2+2a^4+76a^3-25a^2-4)x^2+
(2a(2a^2+1)^2*b^2+2b(2a^2+1)^2*a^2-4a^5-38a^4-4a^3-57a^2+8a)*x-(2a^4+1)^2*a^2*b^2+2a^6+11a^4+38a^3-4a^2}/(2a^2+1)^2
xについてのこの恒等式を解いて
2b(2a^2+1)-38a^2+18*a+19=0
-(2*a^2+1)^2*b^2-4ab(2a^2+1)^2+2a^4+76a^3-25a^2-4=0
a{2(2a^2+1)^2*b^2+2ab(2a^2+1)^2-4a^4-38a^3-4a^2-57a+8}=0
{(2a^4+1)^2*b^2+2a^4+11a^2+38a-4}a^2=0
a= -2.793148028442146, b=0.5944405675738544
f'(a)= -1.698707549766413, f(a)=3.987944379308118
二重接線：
　y=-1.698707549766413(x+2.793148028442146)+3.987944379308118
　y=-1.698707549766413 x -0.7567972642217269 ... (Ans.)

(2)
S=∫[a,b] f(x)-f'(a) (x-a)-f(a) dx
=S1-S2
S1=∫[-2.793148028442146, 0.5944405675738544] (x^4+x^3-9x+2)/(2x^2+1) dx
=9.577925335959279
S2=∫[-2.793148028442146, 0.5944405675738544] (-1.698707549766413*x-0.7567972642217269) dx
=3.762537801493114
S=9.577925335959279 - 3.762537801493114
=5.815387534466165 ... (Ans.)