面積について

質問

・曲線　y=x^3+x^2-2xと、その曲線上の点（1,0）における接線で囲まれた部分の面積を求めよ。
・画像の問題
がどうしてもわからないので教えていただけると助かりますおねがいします

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

・曲線　y=x^3+x^2-2xと、その曲線上の点（1,0）における接線で囲まれた部分の面積を求めよ。y=x^3+x^2-2x より
y'=3x^2+2x-2

点(1, 0)における接線の方程式は
y=(3+2-2)(x-1)
y=3x-3

y=x^3+x^2-2x　と　y=3x-3 の接点以外の交点のx座標は
x^3+x^2-2x=3x-3
x^3+x^2-5x+3=0
(x-1)(x^2+2x-3)=0
(x-1)^2(x+3)=0
x=1, -3
よって
x=-3

-3≦x≦1 のとき　x^3+x^2-2x≧3x-3　だから
求める面積は
∫[-3, 1]{(x^3+x^2-2x)-(3x-3)}dx
=∫[-3, 1](x^3+x^2-5x+3)dx
=[(1/4)x^4+(1/3)x^3-(5/2)x^2+3x][-3, 1]
=(1/4)(1-81)+(1/3)(1+27)-(5/2)(1-9)+3(1+3)
=-20+(28/3)+20+12
=64/3

・画像の問題
y=x^2-2x+4 ・・・・・・ (1)
接線の方程式は原点を通るから
y=mx ・・・・・・ (2)
とおける。
これより
x^2-2x+4=mx
x^2-(m+2)x+4=0 ・・・・・・ (3)
(1), (2) が接するから、 (3)の判別式Dが
D=0
である。よって
(m+2)^2-4・1・4=0
(m+2)^2=16
m+2=4, -4
m=2, -6

２本の接線の方程式は
y=2x, y=-6x
(1) と y=2x との接点のx座標は、(3) より
x^2-4x+4=0
(x-2)^2=0
x=2

(1) と y=-6x との接点のx座標は、(3) より
x^2+4x+4=0
(x+2)^2=0
x=-2

-2≦x≦0 のとき　x^2-2x+4≧-6x　
0≦x≦2 のとき　x^2-2x+4≧2x
だから,
求める面積は
∫[-2, 0]{(x^2-2x)-(-6x}dx+∫[0, 2]{(x^2-2x+4)-2x}dx
=∫[-2, 0](x^2+4x+4)dx+∫[0, 2](x^2+4x+4)dx
=[(1/3)x^3+2x^2+4x][-2, 0]+[(1/3)x^3-2x^2+4x][0, 2]
={(1/3)(0+8)+2(0-4)+4(0+2)}+{(1/3)(8-0)-2(4-0)+4(2-0)}
=(8/3)-8+8+(8/3)-8+8
=16/3

回答No.1

bran111

・曲線　y=x^3+x^2-2xと、その曲線上の点（1,0）における接線で囲まれた部分の面積S
を求めよ。

まず曲線のグラフを描くこと

y=x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1)より曲線はx=-2,0,1でx軸と交わる。

y'=3x^2+2x-2 ⇒点（1,0）における接線の傾き=3

接線：y=3(x-1)

この接線と曲線との交点は

x^3+x^2-2x＝3(x-1)より

x^3+x^2-2x-3x+3=x^3+x^2-5x+3=(x-1)^2(x+3)=0

接点が(1,0), 交点が(-3,-12)

S=∫(x=-3,1)[x^3+x^2-2x-3(x-1)]dx=∫(x=-3,1)[x^3+x^2-5x+3]dx
=[x^4/4+x^3/3-5x^2/2+3x](x=-3,1)=64/3

・画像の問題 求める面積をSとすると

y=x^2-2x+4上の点(p, p^2-2p+4)における接線はy'=2x-2より

y-(p^2-2p+4)=(2p-2)(x-p)

これが原点(0,0)を通ることにより

-(p^2-2p+4)=(2p-2)(-p)

整理して

p^2-4=0 ⇒　p=2,-2

i)p=2の接線の傾き=2

接線：y=2x

接点（2, 4)

ii)p=-2の接線の傾き=-6

接線：y=-6x

接点（-2, 12)

S=∫(x=-2,0)[x^2-2x+4-(-6x)]dx+∫(x=0,2)[x^2-2x+4-(2x)]dx
=∫(x=-2,0)[x^2+4x+4]dx+∫(x=0,2)[x^2-4x+4]dx
=∫(x=-2,0)[(x+2)^2]dx+∫(x=0,2)[(x-2)^2]dx
=[(1/3)(x+2)^3](x=-2,0)+[(1/3)(x-2)^3](x=0,2)=8/3+8/3=16/3