定積分 面積

質問

次の図形の面積を求めよ。
(1)曲線y=x^3-3x+5と、yが極大になる点におけるその曲線の接線で囲まれた図形。

この問題なんですが、yの式を微分して増減表とかを書いて、
図も描いて、求めればいいでしょうか？そうなると書く量が多くなるので、もし、もっと簡潔に解ける方法があればおしえてください。

回答No.2

sanori

すみません。４行目を訂正します。

というわけで、曲がる場所のｘ座標は－１と１の２か所です。
　↓
というわけで、頂点になる場所のｘ座標は－１と１の２か所です。

回答No.1

sanori

こんばんは。

y = x^3 - 3x + 5
y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)
というわけで、曲がる場所のｘ座標は－１と１の２か所です。

ｘ^3 の係数がプラスなので、曲線は左下から右上へやってきて、２回曲がって、再び右上へ向かいます。

よって、極大の点のｘ座標は、－１と１のうち、左のほうである　－１　です。

図を描くとわかりますが、曲線は接線よりも下になりますから、
接線の方程式から曲線の方程式を引き算した数式を定積分すればよいです。

面積　＝　∫[始点→終点] （接線の方程式－曲線の方程式）ｄｘ

定積分の始点のｘの値は、－１です。

定積分の終点のｘの値は、
　曲線の方程式　＝　接線の方程式
を解けばよいのですが、３つの解のうち２つは－１と－１（重解）ですので、残り１つの解を使うことになります。

お礼

わかりました。ありがとうございます。