定積分 面積

質問

X軸で囲まれた図形の面積S
(1) y=x^2 -x-6

(2) y=3x^2-x^3
がわからないので教えてください

回答No.1

yyssaa

(1) y=x^2 -x-6=(x-3)(x+2)=(x-1/2)^2-25/4
＞この曲線は頂点(極小点)が(1/2,-25/4)で
x軸をx=-2,3で横切る下に凸の二次曲線だから
S=∫[x=3→-2]x^2-x-6dx={(1/3)x^3-(1/2)x^2-6x}[3,-2]
=(1/3)*(-2)^3-(1/2)*(-2)^2-6*(-2)-(1/3)*3^3+(1/2)*3^2+6*3
=125/6・・・答
(2) y=3x^2-x^3=x^2(3-x)
＞y'=6x-3x^2=3x(2-x)
y''=6-6x
x=1でy''=0だから(1,2)が変曲点
x＜1でy''＞0だから下に凸
1＜xでy''＜0だから上に凸
x=0で極小値0
x=2で極大値4
x=0でx軸に接し、x=3でx軸を上から下に横切る。
よってS=∫[x=0→3]3x^2-x^3dx
={x^3-(1/4)x^4}[x=0→3]=3^3-(1/4)*3^4=27/4・・・答