対数関数の積分

質問

∫(log x)^n dx
の不定積分を次のように求めましたが、正しいか確認していただければ幸いです。
-------------------------
∫(log x) ^n dx
=∫(x)' (log x)^n dx
=x (log x)^n - ∫ x {(log x)^n}' dx
=x (log x)^n - ∫ x {(log x)^n} / x dx
=x (log x)^n - ∫ (log x)^n dx
∴ 2 ∫ (log x)^n = x (log x)^n
∫ (log x)^n = 1/2・x (log x)^n + C

回答No.3

info33 · ベストアンサー

> =x (log x)^n - ∫ x {(log x)^n}' dx
> =x (log x)^n - ∫ x {(log x)^n} / x dx ... ここで間違い（この行以降は間違い）。
正しい計算は
=x (log x)^n - ∫ x n {(log x)^(n-1)} / x dx
=x (log x)^n - n ∫ (log x)^(n-1) dx

お礼

二行目で素直に処理すればよかったのですね。ありがとうございます。正しい計算過程をしめしてくださり感謝しております。

回答No.2

noname#232123

「部分積分」で求めます。
I[n]=∫{ln(x)}^ndx, (n:自然数) とします。
u={ln(x)}^n, v'=1 として計算することにより、
I[n]=x*{ln(x)}^n - n*I[n-1].
なる漸化式を得ます。(I[0]=x).
※ 前の方が言われるとおり、結果を微分してご自身で確認してください。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。自分なりに部分積分をしてみたのですが、勘違いがありました。

回答No.1

tmppassenger

取り敢えずn=1の時に、右辺を微分して左辺になりますか？

お礼

そうですね。吟味が大事ですね。ありがとうございました。