対数の式について、教えて下さい。

質問

(1/a)×log a = (1/b)×log b
ならば
a= b
なのでしょうか？
　自明の理とは思えず、反例やらa=b とは限らないことを示せないか？ と紙にいろいろと計算してみますが、分かりません。

回答No.8

178-tall · ベストアンサー

ANo.7 では外字添付に失敗、そして誤記。
なので、訂正。

f(x) = (1/x)*LN(x) のグラフの増減は、
　 x 　　f(x)　増減
　--　　---　　----
　 1　　　0
　　　　　　　　　↑
　 e 　 　1/e
　　　　　　　　　↓
　 ∞　　　0

ヤレヤレ…。

お礼

熱意ある回答に心より、感謝します。私自身、鉛筆で確認させてもらいました。大丈夫です。数度にわたる真摯な回答にベストアンサーでこたえさせてください。

回答No.7

178-tall

見てのとおり、ANo.5 ～ 6 は冗舌を避けたヒント 止まりです。

テスト用コメントなら、
　f(x) = (1/x)*LN(x) のグラフの増減が、
　0 < x <∞ にて、0 < f(x) (右上矢印) f(e) = 1/e (右下矢印) f(x) > 0
だろうことを示さねばならぬでしょうネ。

回答No.6

178-tall

>… f(x) = A を与えたとき、x = e の場合を除き、x は 2 価。

チャンと言えば、
　f(x) = A を与えたとき、x = e の場合を除き、x は 2 価または空価。
… かな？

回答No.5

178-tall

f(x) = (1/x)*LN(x) の微係数は、
　f'(x) = (-1/x^2)*LN(x) + (1/x^2) = (1/x^2)*{ 1 - LN(x) }
なので、x = e にてゼロ、その前後で傾斜が逆向き。

これから察するに、f(x) = A を与えたとき、x = e の場合を除き、x は 2 価。

回答No.4

info222_

>(1/a)×log a = (1/b)×log b
>ならば
>a= b
>なのでしょうか？
正しくはありません。

a=b(>0)は
(1/a)×log a = (1/b)×log b
を満たすが a≠bでも満たすからです。
(a,b)=(2,4), (4,2) でも満たします。

なぜ a≠bでも等式が成り立つかといえば

f(x)=(1/x)×log x=k(<1/e) (eはネイピア数)
を満たすxが常に1組存在する からです。
それを(a,b) (a≠b) とすれば 等式が成り立つ。

大学レベルですが ランベルトのW関数を使えば
(a,b)=(exp(-W(-k)), exp(-W_-1(-k))), (0<k<=1/e, a<b)

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ありがとうございます。恥ずかしながら、ランベルトさんは初耳でした。もっと勉強しなくては！と反省です。

回答No.2

asuncion

おっと、言ったそばから反例が見つかりました。
a = 4, b = 2
4^2 = 2^4だから、
(1/4)log(4) = (1/2)log(2)

お礼

asuncionさん、ありがとうございます。
やはり、怪しいと思ったことが、裏付けられました。
　ありがとうございます。

回答No.1

asuncion

(1/a)・log(a) = (1/b)・log(b) （ただしa > 0, b > 0）
両辺にabをかけて分母を払う。
b・log(a) = a・log(b)
log(a^b) = log(b^a)
a^b = b^a
これが成り立つのはa = bの場合に限る。

お礼

あとで訂正があったようですが、最初の回答、ありがとうございました。