複素解析の留数を求める問題について

質問

複素解析の問題と回答に以下のようなものがあったのですが、勉強不足で略解を理解できませんでした。

特に第1式から第2式への計算思考手順がわかりません。
この問題を特に当たっての思考手順(1.z=1/2は z^2/(cos πz)の1位の極なので~~のような）を教えていただけませんでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

f(z)=z^2/cos(pi*z) とします。このときz=1/2(１位の極) における留数を求めます。
Res(f, 1/2)=lim[z→1/2]{(z-1/2)*f(z)}
=lim {z^2+(z-1/2)*2z}/{-pi*sin(pi*z)}=-1/(4pi).

お礼

なるほどロピタルを使うんですね
ありがとうございました！