円と円が重なるときの接点2か所の距離を教えて。

質問

円と円が重なるときの接点２か所の距離の求め方を教えてください。

回答No.4

tadopikaQ · ベストアンサー

「接点」ではなくて、「交点」ですかね?

半径Rの円Oと、半径rの円O'の交点をP,Qとします。
又、OO'=d, ∠POO'=θとします。
このとき、2交点PQの距離は、次のように計算できます。

PQ=2Rsinθ
cosθ=(d^2+R^2-r^2)/2dR
cosθcosθ+sinθsinθ=1
これら3式から、

PQ = √{(r^2-(d-R)^2)(-r^2+(d+R)^2)} / d

お礼

ありがとうございます

回答No.7

tadopikaQ

No4の解答から、更に因数分解できました。

PQ = √{(r^2-(d-R)^2)(-r^2+(d+R)^2)} / d
= √{(r-d+R)(r+d-R)(-r+d+R)(r+d+R)} / d

ついでに、この式の意味を少し考えてみましょう。
R,r,dの大小によって、2円の関係を場合分けしてみます。

2円が異なる2点P,Qで交わるとき、三点POO'は三角形をなします。
このとき、d<R+r, R<d+r, r<d+R より、上式の根号内は正となり、PQも正の値を取ります。

円Oと円O'が外接するときは、d=R+r より、PQ=0 となります。
又、2円が内接するときは、R=d+r 又は r=d+R より、PQ=0 となります。

2円が交わらないときは、d>R+r, R>d+r, r>d+R の3パタンがあります。
いずれの場合も、根号内が負となり、PQは存在しません。

お礼

ありがとうございます

回答No.6

noname#227255

ANo.2の訂正です。

2つの円の方程式を連立させてx^2とy^2を消去すると、交点２か所を通る直線の方程式が求められます。
ここで、一方の円の中心である点P1とこの直線との距離を求めます。
三平方の定理から、r1^2-(この距離)^2=(交点2か所の間の距離の2分の1)^2の関係が成り立つので、これから交点2か所の間の距離が求められます。

お礼

ありがとうございます

回答No.5

foomufoomu

ヘロンの公式を使う方法を考えてみます。
２円の半径をaとb、２つの中心間の距離をc とすると、次のページの三角形ができます。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
交点の距離はこの三角形の高さの２倍になります。
前のページの公式で面積Tを計算すれば、三角形の高さｈは
h = 2 * T / c
交点の距離はこの2倍です。

お礼

ありがとうございます

回答No.3

178-tall

参照 URL / 円と円の交点を求める
　　↓
のような勘定でしょうか？

参考URL：

http://shogo82148.github.io/homepage/memo/geometry/circle-cross.html

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

noname#227255

一方の円の中心を点P1、半径をr1、もう一方の円の中心を点P2、半径をr2、点P1とP2間の距離をx、交点２か所を点Q1とQ2、この間の距離をyとします。
△P1P2Q1≡△P1P2Q2、∠P1Q1P2=∠P1Q2P2=90°であるから、△P1P2Q1の面積をSとすると、
2S=r1*r2=x*y/2であるから、y=2*r1*r2/x
よって、交点２か所の間の距離は、2つの円の半径と中心間の距離から求められます。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

f272

円と円が重なるときの接点というのはどこのことですか？接してもいないのに接点はありませんよ。

お礼

ありがとうございます