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一次関数のグラフの問題（中学２年の数学）
- 中学２年の数学の一次関数のグラフの問題について解説します。
- Aさんと兄の家から図書館までの移動をグラフで表す問題です。
- 具体的な問題と解法について解説します。
- soji-tendo
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＞Aさんは、家から1000m離れた図書館に行き 添付図のグラフでは「10000m」になってますが、本当の距離は1000mでしょうか？それとも10000mでしょうか？ ＞(1)Aさんが図書館を出発してから家に帰るまでのようすを表すグラフ（80≦ｘ≦130） ＞について、ｙをｘの式で表しなさい。 「ｙをｘの式で表しなさい」って事は「y = ax＋b」の式を考えて、条件に合うaとbを見つければ良いだけです。 xが80の時にyが10000になり、xが130の時にyが0になる、と言うaとbの組み合わせを探して下さい。 つまり a×80＋b＝10000 a×130＋b＝0 になるaとbを見付ければ良いのです。 「xが50増えると、yは10000減る」のですから、増減値は「-10000÷50」です。 つまり「xが1増えると、yが200減る」のです。 従って「a＝－200」です。 つまり －200×80＋b＝10000 －200×130＋b＝0 になるbを見付ければ良いのです。 －200×130＋b＝0 の式の両辺に「26000」を足してみます。 －200×130＋b＝0 －200×130＋b＋26000＝26000 －26000＋b＋26000＝26000 26000－26000＋b＝26000 0＋b＝26000 b＝26000 よって、aは「－200」で、bは「26000」です。 求める式は y = ax＋b で、aは「－200」で、bは「26000」と判りました。 なので「ｙをｘの式で表す」と「y＝－200x＋26000」になります。 確認のため「y＝－200x＋26000」の式で、xを80と置くと－200×80＋26000＝10000で、xを130と置くと－200×130＋26000＝0で、正解だと判ります。 ＞(2)兄のようすを表すグラフ（10≦ｘ≦160）について、ｙをｘの式で表しなさい。 同様に a×10＋b＝0 a×160＋b＝10000 になるaとbを見付ければ良いのです。 xが10から160になると、つまり、150増えると、yが10000増えます。 なので、増減値は「10000÷150」です。つまり「200／3」です。 つまり「a＝200／3」です。 (200／3)×10＋b＝0 (200／3)×160＋b＝10000 になるようなbを見付けて下さい。 (200／3)×10＋b＝0 の両辺から「(200／3)×10」を引けば (200／3)×10－(200／3)×10＋b＝－(200／3)×10 0＋b＝－(200／3)×10 b＝－(200／3)×10 b＝－2000／3 です。 これで「a＝200／3」「b＝－2000／3」だと判りました。 「a＝200／3」「b＝－2000／3」を「y = ax＋b」の式に当て嵌めます。 y = (200／3)x－2000／3 y = 200x／3－2000／3 y = (200x－2000)／3 従って、ｙをｘの式で表すと「y = (200x－2000)／3」になります。 確認のため「y = (200x－2000)／3」の式で、xを10と置くと(200＊10－2000)／3＝0で、xを160と置くと(200＊160－2000)／3＝10000で、正解だと判ります。 ＞(3)2人が出会ったのは、Aさんが家を出発してから何分後で、家から何mの地点ですか？ y＝－200x＋26000 と y = (200x－2000)／3 の両方が成り立つxを求めます。 両方が成り立つと y＝－200x＋26000 y = (200x－2000)／3 の両方の式が「同じ値」になります。つまり －200x＋26000＝ (200x－2000)／3 と言う事です。 －200x＋26000＝ 200x／3－2000／3 －200x－200x／3＝－2000／3－26000 200x＋200x／3＝2000／3＋26000 200x＊3＋200x＝2000＋26000＊3 600x＋200x＝2000＋26000＊3 800x＝2000＋78000 800x＝80000 x＝100 x＝100という事は「Aさんが家を出発してから100分後」です。 y＝－200x＋26000 の式に「x＝100」を代入すると「y＝6000」になります。 y＝6000と言う事は「家から6000mの地点」です。 答えは「Aさんが家を出発してから100分後で、家から6000mの地点」です。
その他の回答 (3)
質問文では「家から図書館まで1000m（1km）」、グラフでは「家から図書館まで10000m（10km）」となっていますが、現実的に考えて（兄の速度から）、グラフの通り「家から図書館まで10000m（10km）」とします。 なお、QNo.9326739におけるANo.3の(2)でも触れたように、点(a,b)を通り、傾きkの直線は、 y=k(x-a)+bの形で表されます。 (1) 点(130,0)を通り、傾き(0-10000)/(130-80)=-10000/50=-200の直線であるから、 y=-200(x-130)+0=-200x+26000－(a) (2) 点(10,0)を通り、傾き(10000-0)/(160-10)=10000/150=200/3の直線であるから、 y=200(x-10)/3+0=200x/3-2000/3－(b) (3) 式(a)と(b)から、 -200x+26000=200x/3-2000/3 -600x+78000=200x-2000（両辺に3をかけて分数を整数に直しました。） -800x=-80000 x=100（分後）（80≦x≦130） これを式(a)に代入すると、 y=-200*100+26000=-20000+26000=6000（mの地点） ※ (1)と(2)において式を組み立てる際に、直線が通る点はx軸上にあるもの（y座標が0）とした方が簡単です。 また、連立方程式を解く上では、分数を整数に直した方が、誤りは少なくなります。 （グラフから読み取る別解） この解法では、上の式(a)と(b)を組み立てません。 Aさんは家から図書館まで50分かかり、兄は160-10=150分かかったので、 Aさんと兄の速度の比は、150：50=3：1（かかった時間の逆比） 兄は、80-10=70分間で、家から10000*70/150=14000/3m進んだので、 図書館までの残りの距離は、10000-14000/3=16000/3m このときAさんは図書館を出発したので、2人が出会ったのは、家から、 14000/3+16000/3*1/(3+1)= 14000/3+4000/3=18000/3=6000mの地点 また、兄は毎分10000/150=200/3m進むので、6000m進むのにかかった時間は、 6000/(200/3)=90分 よって、2人が出会ったのは、Aさんが家を出発してから 10+90=100分後 ※この解法では、動きが簡単な兄の方を重視します。
お礼
pakuri-haijo_2様へ ご回答いただき、どうもありがとうございました。
- info222_
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No.2です (3)に誤りがありましたので訂正します (3) >xの共通範囲(80≦ｘ≦130）で >連立方程式を解く >y=-200x+26000 >y=200x/3 -2000/3 >-200x+26000=200x/3 -2000x/3 >-x+130=x/3 -10 -x+130=x/3 -10/3 4x/3=400/3 x=100 y=-200*100+26000=6000 Ans. 100分後、6000mの地点
お礼
info222_様へ どうもありがとうございました。
- info222_
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(1) 傾きa=-(10000/(130-80))=-200 (x,y)=(130,0)を通る y=a(x-130)=-200(x-130)=-200x+26000 Ans. y=-200x+26000 (80≦ｘ≦130） (2) 傾きb=10000/(160-10))=200/3 (x,y)=(10,0)を通る y=b(x-10)=(200/3)(x-10)=200(x-10)/3 Ans. y=200x/3 -2000/3（10≦ｘ≦160） (3) xの共通範囲(80≦ｘ≦130）で 連立方程式を解く y=-200x+26000 y=200x/3 -2000/3 -200x+26000=200x/3 -2000x/3 -x+130=x/3 -10 4x/3=140 x=210/2=105 y=-200*105+26000=5000 Ans. 105分後、5000mの地点
お礼
info222_様 ご回答いただき、どうもありがとうございました。
お礼
chie65535様へ どうもありがとうございました。