有限要素法のためのデータ構造について

質問

物理数値計算手法である有限要素法のデータ構造は普通は非構造格子でランダムな格子で領域を分割していくわけですが、その場合、データ構造としては、
１．節点番号とその座標
２．要素番号とその要素を構成する節点番号
になるはずですね。この２つがあれば計算領域の情報がすべてわかるはずです。
ランダムな格子のメッシュについてはgmshというGNUのソフトを使っています。
そのソフトでは１の節点番号とその座標は出ますが、２の要素情報が理解できないものになっています。ただ、gmshではメッシュは思ったように出力されています。
gmshのデータの考え方を理解していないからなのか、それとも私のFEMに対する理解が間違っているからなのかと自問しています。
このあたりの考え方について教えて頂きたいのですが。よろしくお願いします。

回答No.3

ddtddtddt

#2です。

＞FEMの場合、プレ→ソルバー→ポストということの中で、節点（点要素？）における計算値を出力するものと・・・

　基本的に欲しものはそれです。絵を描く時は、節点間で物理量を補完したりはしますが、それはポストの仕事になります。

　自分の経験では、gmshの仕様はちょっと個性的に思えます。この前も言いましたが、「幾何要素」と「有限要素」は例え形状と位置がいっしょでも、別立てのデータにするのが普通で、それぞれ幾何要素番号と有限要素番号を、自分なら持たせます。つまり「幾何要素」と「有限要素」は別物です。さらに言うと、有限要素番号と節点番号も区別します。

　でも自分もちょっと古いですからね(^^;)。けっきょくは慣れの問題とも言えますので、最近はgmshのやり方が主流だというのも、有り得る話だとは思います。

＞gmshが出力するデータ形式がかなり個性的？（要素番号が点、線、微小領域にも振られているとか）だとソルバーの一般化も難しいと思います。

　けっきょくソルバーに渡すデータは、「有限要素－節点対応表」＋「節点座標」＋「有限要素種類」が命な訳です。それらさえあればソルバーは、剛性マトリックスなどをつくれて結果を出してくれますので、任意のプレの情報を先の形に抽出する、プレ・ソルバー間のインターフェイスがあれば良い事になります。これが「手間」です。

＞（ただ、剛性行列の値に10^10とか10^(-10)のように絶対値が大きく違うと問題だろうなとは思いますが。）

　たいていのソレバーはスケーリング機能を持ってますので、絶対値のオーダーの違いには対処してくれます。だから剛体要素も使用できます。もっとも酷いのになると、特異行列でも値を出力します。結果を表示してみたら、10 km向こうに吹っ飛んで行った解だとかですが(^^;)。

＞個性は要素の切り方にあるのではと思っていました。

　そうですね、データ仕様の違いを除けば、プレの良しあしはメッシューで決まります。もちろん全自動が楽なんですけど、調整も効く奴の方が好きです。

　要素分割方法は、アドバンシング・フロントとかデローニー分割とかマップ法とか色々です・・・(^^;)。

回答No.2

ddtddtddt

#1です。自分は構造系出身なので、以下では構造系の用語を使います。

＞有限要素法では、点と線で囲まれたものを”要素”と呼ぶと信じていました。

　汎用有限要素プログラムでは（今でもアプリケーションと言わず、プログラムって言うんですよ(^^;)）、点要素，線要素，面要素（三角形，四角形が主）が立派な有限要素として存在します。中実体積を表す3次元要素は、ソリッド（固体）要素と総称される場合もあります。

　点要素はマニアックな拘束条件や接続条件、付加質量を与える時なんかに使われます。

　線要素はいわゆる「線材」を扱う時に用いられ、代表的には棒の曲げ挙動を表す梁要素と、伸びを表すトラス要素です。特殊な応用として、異なる節点間を剛体変位で拘束する時にも使われます（非常に曲がりにくい・伸びにくい棒）。
　設計計算では余り面倒な事はやってられないので、例えば橋の構造設計では、梁要素とトラス要素は主役になります。じつは構造力学と言われる分野は、その範囲が主です。

　面要素は、薄板組み立て構造物（車両の外皮やタンク、船体など）のためにあり、構造力学の上級コースです。

　最後にスライダー要素です。これはたいてい線か面要素であり、摩擦や接触・接合部の強度を考慮する時に使います。固体要素の境界に挿入し、ペリッと剥がれるたりする訳です(^^)。

　そんな具合ですが、材料特性を持った「有限要素」と物体の形状を表す「幾何要素」は、別立てのデータ階層にするのが一般的だと思っていました。でも考えてみれば有限要素は必ず「幾何属性」を持つ訳で、逆に「有限要素属性」を持った幾何要素が有限要素だ、というのもありだなと思いました。確かにデータ構造の設計としては、効率が良さそうです(^^)。

お礼

回答有り難うございました。私はFEMは全くやったことがありませんが、差分とかのプログラムはスクラッチから数多く作って来ました。FEMの場合、プレ→ソルバー→ポストということの中で、節点（点要素？）における計算値を出力するものと理解していいでしょうか。
また、私の印象ではフリーのFEMソフトに見られるように求解（ソルバー）の部分はかなり定形的で、個性は要素の切り方にあるのではと思っていました。（ただ、剛性行列の値に10^10とか10^(-10)のように絶対値が大きく違うと問題だろうなとは思いますが。）しかしながらgmshが出力するデータ形式がかなり個性的？（要素番号が点、線、微小領域にも振られているとか）だとソルバーの一般化も難しいと思います。実際、gmshが吐き出したmshデータを読み込んで整理するプログラムを作っては見ましたが、そのような手間が必要でしょうか。それともmshデータの構造は一般的なのでしょうか。

回答No.1

ddtddtddt

https://img.atwikiimg.com/www31.atwiki.jp/tagami/attach/118/106/the_usage_of_gmsh.pdf

にマニュアルがありました。その9ページによると、「要素節点対応表が必要ならば、体積の物理エンティティを定義する必要がある．」とありました。

　gmshは、かなり効率良いデータのまとめ方をしているようです（かなりの階層構造）。その分読み解くのは、ちょっと面倒そうです(^^;)。

お礼

回答有り難うございます。資料に目を通してみました。
ご指摘のところの下に
(要素番号) (要素タイプ) (ラベル数) (ラベル) (ラベル) (節点リスト)の形で与えられるとあります。
要素タイプ、ラベルというのは要素に対する何らかの属性であり、最後の節点リストはその要素を構成する節点番号ということと思います。三角形要素だったら、節点数は３つだから節点リストは３つだと思いますが。
もう一度、その観点で見直してみます。

補足

(要素タイプ)で点、線、面、立体などを区別することが分かりました。
すべてのものが”要素”であり、点も線も要素に含まれるようです。有限要素法では、点と線で囲まれたものを”要素”と呼ぶと信じていました。
このソフトでは要素には属性だけでなく、カテゴリというか、タイプがあるという考え方のようです。
要素タイプ15番が節点とのことで、そのような約束事を知らないと使えないみたいです。