中心角について間違いを教えてください

質問

添付の図で、弦ABと弦BCが1:2のとき中心角も1:2になると思うので、角AOBは60度、角BOCは120度になる気がするのですが、実際にはなりません。でも、どこが間違っているのか、わかりません。教えてください。

回答No.5

tmppassenger · ベストアンサー

『証明』の方法と言われると、「高校に入って正弦定理を習えば分かる」という事になりますが、中学生でも分かるように、と言われると...

例えば、三角形OABを考えます。三角形OABはOA=OBの二等辺三角形です。OからABに引いた垂線の脚をHとすると、AB=2AH = 2BH、で、三角形OAHは、OA＝半径が斜辺の直角三角形で、 AHは角AOHの対辺になります。 OHを直角三角形の底辺と考えた時、AHが高さになります。で、繰り返しになりますが、AB=2AH

同様に、三角形 OBCは、OB=OCの二等辺三角形ですが、OB=OA=半径です。Oから BCに引いた垂線の足をGとすると、BC=2BG、三角形OBGはOB=半径が斜辺の直角三角形で、BGは角BOGの対辺。OGを直角三角形の底辺と見た時、BGが高さになります。で、繰り返しになりますが、BC=2BG

つまり、今考えている弦の長さというのは、斜辺の長さを円の半径に固定した直角三角形を考えた時の、高さ（の2倍）になりますね。

で、結局「弦の長さと弧の長さは比例するか？」というのは、「斜辺の長さを円の半径に固定した直角三角形を考えた時、角度を大きくしていった時、直角三角形の高さ（の2倍）が角度に『比例して』大きくなるか？」というのと同じになります。（繰り返しになりますが、斜辺の長さは固定です）。
これは角度が大きくなるに従って、直角三角形の高さの増え方はだんだん小さくなることから、そうではないことは直感的にわかると思います。

で、今私が書いた事が、結局高校で習う「三角比」とか「正弦定理」とかの内容のほぼそのままです。

お礼

「比例しない」というのが一番判りやすい説明だと思いました。ありがとうございました。

回答No.9

178-tall

>… 『私の間違い』がわかりました。私は「弦の長さと弧の長さは比例する」と思いこんでいましたが、違うんですね。ここで新たに質問ですが、「比例しない」ことは証明できるんでしょうか？証明の方法が知りたいです。

「添付の図」にて、弦 BC 側に角 BOC の 2 等分線を引き、
弦 BC との交点とを P 、円弧との交点を Q でもすると？

　半弦 BP = 半弦 PC = 弦 AB
だろうから、
　弦 BQ = 弦 PQ ＞ 弦 AB
らしい。
(∵ 三角形の二辺の和は、他の一辺より大)

つまり、
　弧 BQ = 弧 QC ＞ 弧 AB
　　　　↓
　角 BOQ = 角 QOC ＞角 AOB

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.8

KEIS050162

中心角が弦の長さに比例しないことを中学生にも分かる様に説明する方法として、反例を一個あげてみてはいかがでしょう？

例えば、円の中心を通る直交する二本の直線を引いて、円との交点をA、B、C、Dとしたとき、弧ABとADCの長さとそれぞれの中心角が比例するのは小学生の時に習っているはず。
で、弦ABと弦ACの比は、√２：２になりますので、比例しません。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.7

ignis2523

AB=1として説明します。
作図して分かったと思いますが、
三角形AOB(AO=BO)も三角形BOC(BO=OC)も二等辺三角形になります。
三平方の定理を習っているなら早いですが、
AB:BC=1:2ならBO=AO=√3/2の二等辺三角形なので、中心角の大きさは1:2になりません。

角AOB=60度、角BOC=120度にするには、三角形AOBを正三角形にする必要があります。
ABとBCの比ではなく、AO=ABとなるBを設定すればいいですよ

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.6

pigeonvillagen

中心角について間違いを教えてください」←製図を書く場合　キチンとした物を使って書く事が大切です（コンパスや定規等・・）

日頃から　その様に習慣つけておかないと　いざ・・って言う時に　困る事に　なります・・

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

tmppassenger

「弦ABと弦BCが1:2のとき」
でなくて、「弧AB : 弧BC = 1:2の時」なら、角AOB : 角BOC = 1:2になるのでそうなりますね。

扇形の中心角と、弧の長さの関係を思い出しましょう。

弧AB : 弧BC = 1:2の時（つまり角AOB : 角BOC = 1:2の時）、弦AB:弦BC = 1:√3です（こうなるのは、計算できるはず）。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。いただいたアンサーで『私の間違い』がわかりました。私は「弦の長さと弧の長さは比例する」と思いこんでいましたが、違うんですね。ここで新たに質問ですが、「比例しない」ことは証明できるんでしょうか？証明の方法が知りたいです。ちなみに、１：√３であれば６０度３０度にあることは理解していますので、そもそもこの質問の「そうはならない」ということはわかっています。常に比例しないことがもしも簡単に証明できるのであれば教えてほしいです。よろしくお願いします。

回答No.3

skp026

すみません。間違いました。

×
角AOBは60度より大きな値になるはずです。

○
角AOBは60度より小さな値になるはずです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

回答No４の補足について書き忘れたことがありましたのでここに書きます。
「中学生にもわかるような説明」で簡単に証明できる方法が知りたいです。なので三角関数などは無しです。証明といっても口で説明する感じでいいので方法がもしもあれば教えてください。

回答No.2

skp026

角AOBは60度だとすると、
三角形ABOは正三角形です。
そうするとABを1としたとき2倍になるのは
中心点を通るACです。

ということから
角AOBが60度のとき中心点を通らないBCが
ABの2倍になることはありません。

角AOBは60度より大きな値になるはずです。

ABCは直角なので、それは糸口になるかも。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞角AOBは60度、角BOCは120度になる気がするのですが、実際にはなりません。

何度になりましたか？

お礼

ご回答ありがとうございました。