- ベストアンサー
難しい積分（三角関数を含む場合分け）
F(x)=1/(a+bsinx)とおくとI=S F(x)dxの解き方を教えて欲しいです。D=b^2-a^2のとしD>0 D=0 D<0の３つの場合分けがあるそうです。ここでtanx/2=tとおき、x/2=Arctantからsinx=2t/(1+t^2)になりました。よってF(t)=2t/(at^2+2bt+a)となりここのときのI=S F(t)dtから分からなくなってしまいました・・・誰か分かる方お願い致します。
- evilspirit
- お礼率45% (258/570)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- tarame
- ベストアンサー率33% (67/198)
まず最初に ＞tan(x/2)=tとおくと、sinx=2t/(1+t^2)となる これはよいと思います。 ＞よって、F(t)=2t/(at^2+2bt+a)となり なんですが、F(x)＝(1+t^2)/(at^2+2bt+a)となりますね。 ＞このときのI=S F(t)dtから分からなくなってしまいました t=tanx/2 とすると dt=1/2(cosx/2)^2dx=(1+t^2)/2dx ∴dx=2/(1+t^2)dtより I=S 2/(at^2+2bt+a)dt (置換積分)になるかと思います。 ここからは前回に質問していた内容と同じかと思われます。 もう少し詳しく解説したいところですが、いったん離れます。（急用です）
補足
たびたびありがとうございます。この問題とさっきの問題の(1)(2)はとけましたが、両方とも(3)が解けません・・・続きお願いできませんか？
関連するQ&A
- 三角関数の積分
1/三角関数 の積分は必ずできると聞いたのですが、本当でしょうか。 例えば 1/sinx です。 ∫1/sinxdx を試してみたのですが、うまくできませんでした。 ∫sinx/sin^2xdx とし、 ∫sinx/(1-cos^2x)dx cosx=tとおく。 dx = -1/sinx 与式 = -∫1/(1-t^2)dt = -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C となりました。 しかし、これを微分しても与式になりません。 どこか間違っているのでしょうか。 答えでは、log|tan1/2| となっていたと思います。 あと、 ∫1/cosxdx と ∫1/tanxdx も答えだけでも良いので教えていただきたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分 証明 問題
積分 証明 問題 ∫[0～π]（x・sinx）dxを求めよ。 I=∫[0～π]（x・sinx）dxとおく。 x=π-tとおくと、dx/dt=-1、積分範囲はπ～0 I=∫[π～0]（π-t）・sin（π-t）（-dt） =∫[0～π]（π-t）・sin（π-t）dt =∫[0～π]（π-t）・(sint)dt 2I=∫[0～π]（x・sinx）dx+∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt =∫[0～π]πsinxdx =2π I=π 一点分からない点があります。 ∫[0～π]（π-t）・(sint)dt=∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt について。単純にtをxに置き換えただけだと思いますが、 x=π-tと置換しているのに、t=xと同じ変数を使って再度 置換して良いのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分
毎度すみません。参考書の積分の問題を解いているのですが、答えが不確かなもので質問させて頂きます。 ・∫tan^2x dx t = tanx と置くと 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} dt/dx = 1/cos^2x , dx = cos^2x dt 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} X cos^2x dt = ∫(tan^2x) 2tanx dt = 2∫t^3 dt = 2 X t^4/4 = tan^4x /2 ・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx dt/dx = 2x + 2 dx = 1/(2x + 2) dt 与式 =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) X 1/(2x + 2) dt =log|x^2 + 2x + 5| 一応自分で解いてみたのですが、誤った記述がありましたらご指摘頂けると有難いです。また、答えを導く際、他に簡単な方法等ありましたら、教えて頂けたら嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1/(a+btanx)の積分
タイトル通りなのですが、 (1)sinxを置換する方法 (2)t=tan(x/2)と置換して、cosx,sinxをtで置く方法 (ax+log|acosx+bsinx|)/a^2+b^2となることは 分かっているのですが、途中の積分が解けません。 例．∫1/(a√(1-t^2)+bt)*2/(t^2+1)dt 簡単なほうでいいので、積分の経路を示して いただけないでしょうか？ よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の積分（大学）
次の関数の不定積を求めてください。 （１）（２ーsinx)/(2+cosx) (2)1/(2+tanx) (3)(1-acosx)/(1-2acosx+a^2) (4)(tanx)^6 （２）でtan(x/2)=tで置換したのですが複雑でとけませんでした。 ご教授宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分・積分 問題
微分・積分 問題 F(ｘ)＝∫[a→-x＾2]ｆ（t）dtのときd/dxF(ｘ)を求めよ。 ｆ（t）の原始関数の一つをF（t）とする。 ∫[a→-x＾2]ｆ（t）dt=[F(t)][a→-x^2]=F(-x^2)-F(a) d/dx（F(-x^2)-F(a)） -x^2=sとおくと、ds/dx=-2x→dx=ds/-2xである。 F(s)を微分した関数をf(s)とする。→これは、必要ですか？ d/（ds/-2x）（F(s)-F(a)）=-2x・d/ds（F(s)-F(a)） =-2xf(s)=-2xf(-x^2) 答えは合っているでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数(3)の積分関数の問題で‥
J＝1/π∫[－π、π]｛f(x)－（acosx＋bsinx）}^2 dx とあったときに、 a＝1/π∫[－π、π]ｆ(x)cosx dx、b＝1/π∫[－π、π]ｆ(x)sinx dx のとき定積分Ｊは最小になることを示せ、という問題なのですが、Ｊを計算するところまではわかるのですが、その先の進め方が全くわかりません。やはり微分をするのでしょうか‥。でもそうすると、ｆ(x)が出てきて、これの処理に困ります‥。。。 どなたかわかる方がいらっしゃたらヒントでいいのでよろしくお願いいたしますっ！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 難しい場合分けの積分
F(x)=1/ax^2+bx+cの場合 I=S F(X)dx の計算が全く分かりません。 D=b^2-4ac(判別式)がD>0 D=0 D<0の場合に分けて解くらしいです。分かる方お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。大変勉強になりました。