高校入試の数学の問題

質問

以下の高校入試の数学（難関校）の問題（問２）と（問３）が全然解けず困っています。どなたかわかりやすく解説していただけると助かります。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#222520 · ベストアンサー

立体を平面に描いたり、頭の中で描いてもなかなか分かり難いので、断面や側面で考えるといいと思います。

[問2]
立体A-BCDEの断面になる△ABDにおいて、AB=AD=8cm、BD=(8√2)cmであるから、△ABDは∠A=90°の直角二等辺三角形になるので、
頂点Aから辺BCに下した垂線の足をA2とすると、AA2=8√2/2=(4√2)cm
点Fから辺BCに下した垂線の足をF2とすると、FF2=4√2/2=(2√2)cm
BF2=8√2*3/4=(6√2)cm
BF^2=BF2^2+AA2^2=(6√2)^2+(2√2)^2=80－(1)
側面△ABCは正三角形であるから、点Pから辺BCに下した垂線の足をP2とすると、
PP2={(√3)x/2}cm
CP2=(x/2)cmであるから、BP2=(8-x/2)cm
BP^2=BP2^2+PP2^2=(8-x/2)^2+{(√3)x/2}^2=x^2-8x+64－(2)
側面△ACDも正三角形であるから、点Pから辺CDに下した垂線の足をP3とすると、
PP3={(√3)x/2}cm、CP3=(x/2)cm
点Fから辺CDに下した垂線の足をF3とすると、
FF3=4*√3/2=(2√3)cm、DF3=4/2=2cm
PF^2=P3F3^2+(FF3-PP3)^2=(8-x/2-2)^2+{2√3-(√3)x/2}^2=x^2-12x+48－(3)
∠BPF=90°であるから、(2)+(3)=(1)
よって、
x^2-8x+64+x^2-12x+48=80
x^2-10x+16=0
(x-2)(x-8)=0
x≠8であるから、x=2

[問3]
立体A-BCDEの断面になる△AECにおいて、点Pから辺ECに下した垂線の足をP4とすると、
PP4=AA2(問2と同様)/8=4√2/8=(√2/2)cm
AA2とEPの交点をGとすると、GA2=PP4*8/(8*2-1)=√2/2*8/15=(4√2/15)cm
また、△AEA2は∠A2=90°の直角二等辺三角形であるから、EA2=AA2=(4√2)cm
ここで、立体A-BCDEの断面になる△ABDに戻ると、△FBGの面積は、△FBF2の面積から△GBA2の面積と台形GA2F2Fの面積を引けば求められるので、BF2=(6√2)cm、FF2=(2√2)cm、BA2=AA2=(4√2)cmであるから、△FBGの面積は、
6√2*2√2/2-4√2*4√2/15/2-(4√2/15+2√2)*2√2/2=(32/5)cm^2
立体F-BPEの体積は、三角すいE-FBGの体積と三角すいP-FBGの体積の和になり、三角すいE-FBGにおいて、底面を△FBGとしたときの高さはEA2=(4√2)cm、三角すいP-FBGにおいて、底面を△FBGとしたときの高さは4√2*7/8=(7√2/2)cmであるから、立体F-BPEの体積は、
32/5*4√2/3+32/5*7√2/2/3=(16√2)cm^3

お礼

解説ありがとうございました。助かりました。

回答No.1

tadopikaQ

問2
∠BPF=90°ですから、
BF^2 = BP^2 +PF^2 ...[1]

Fから、正方形BCDEに下ろした垂線の足をGとすると、
BG=3/4*BD
=6√2
GF=√(FD^2-DG^2)
=2√2
よって、
BF^2=BG^2+GF^2
=80

同様に、Pから正方形BCDEに垂線を下ろすなどして計算すると、
BP^2=x^2-8x+64
PF^2=x^2-12x+48
となります。
これらを[1]式に代入し、xの2次式を解くと、x=2 が得られます。

問3
FPの延長線とDCの延長線の交点をQとすると、求める4面体の体積は、
V(FPBE) = V(F-BEQ) -V(P-BEQ)

これに気付ければ、後の計算は容易でしょう。
答えは、16√2 (cm)^3 です。

お礼

解説ありがとうございました。助かりました。