問題が解けない

質問

次の問題が解けなくて困っています。何人かに質問したのですが、だれも解けませんでした。
私も問題の意味自体よくわかりません。大学入試の問題（難関大）なので難しいのかもしれませんが（高校数学の範囲で解けるはずなのですが）・・・

どなたかよろしくご解答願います。

〔問　題〕

回答No.3

tmpname · ベストアンサー

(1)でSの和のところはnが二重の意味で使われていて紛らわしいので、

S = lim_{n→∞} Σ_{1≦k≦n} p_k / (10^k)
= [ Σ_{1≦k≦n} p_k / (10^k) ] + [ Σ_{n≦k≦M-1} p_k / (10^k) ] + p_M / (10^M) + [ lim_{r→∞} Σ_{M+1≦k≦r }p_k / (10^k) ]
≦ [ α - 1/(10^n) ] + [ Σ_{n≦k≦M-1} 9 / (10^k) ] + 8/(10^M) + [ lim_{r→∞} Σ_{M+1≦k≦r} 9 / (10^k) ] (A)

で読み替えてください。
因みに、結局上の式は、

S
≦[ α - 1/(10^n) ] + [ Σ_{n≦k≦M-1} 9 / (10^k) ] + (9 - 1) / (10^M) + [ lim_{r→∞} Σ_{M+1≦k≦r} 9 / (10^k) ]
= [ α - 1/(10^n) ] + [ lim_{r→∞} Σ_{n≦k≦r} 9 / (10^k) ] - 1/ (10^M)
= [ α - 1/(10^n) ] + 9 * [ lim_{r→∞} Σ_{n≦k≦r} ((1/10)^k) ] - 1/ (10^M)

となることに注目すると良いです。

お礼

tmpname さん　問題の意味から解答のヒントまで大変丁寧に解説していただき、本当にありがとうございました。これで何とか解答作れそうです。

回答No.2

tmpname

で、解答のヒント

(1)
あるnが存在して、α≧α_n + 1/(10^n)だったとして矛盾をしめす。つまり、実数αと、αの小数点以下第n桁までの数α_nとの誤差が1/(10^n)以上あったとして、矛盾をしめす。何度も繰り返しますが、ここで『0.4999........ という表記は許さない』。

いま、(b)より、nより大きい自然数mで、p_mが9でないものが存在する。そのようなmの中で最小のものをMとする。(M>n)
p_Mは8以下（9でない）

lim_{n→∞} α_n = Sとすると、
S = lim_{n→∞} Σ_{1≦k≦n} p_k / (10^k)
= [ Σ_{1≦k≦n} p_k / (10^k) ] + [ Σ_{n≦k≦M-1} p_k / (10^k) ] + p_M / (10^M) + [ lim_{n→∞} Σ_{M+1≦k≦n}p_k / (10^k) ]
≦ [ α - 1/(10^n) ] + [ Σ_{n≦k≦M-1} 9 / (10^k) ] + 8/(10^M) + [ lim_{n→∞} Σ_{M+1≦k≦n} 9 / (10^k) ] (A)

(A)を計算し、S < α となって(c)と矛盾する事をしめす。

(2)
(1)から容易。αの小数展開が 2つ以上ある、として矛盾を示す。

今、{q_n}, {r_n}が、αの異なる小数展開だったとする。異なる、といっているのだから、q_m ≠ r_mとなる自然数mがあるが、このようなmの最小のものMを取る。
つまり、q_1, q_2, ..., q_{M-1}は全て対応するr_1, r_2, ..., r_{M-1}と一致するが、q_M ≠r_M
q_M > r_Mとして一般性を失わないのでそうすると、

α - Σ_{1≦k≦M} r_k / (10^k) = α - Σ_{1≦k≦M} q_k / (10^k) + (q_M - r_M) / (10^M)

ここで、
＊{q_n}はαの小数展開だったから、Σ_{1≦k≦M} q_k / (10^k) ≦α （であることを示す：α = Σ_{1≦k≦M} q_k / (10^k) + lim_{n→∞}Σ_{M+1≦k≦n}q_k / (10^k) となる事に注意）
＊q_M - r_M ≧ 1 （異なる整数の絶対値差は1以上）

であることから、α - Σ_{1≦k≦M} r_k / (10^k)≧ 1/(10^M)となる事を示し、(1)に矛盾する事を示す。

回答No.1

tmpname

取り敢えず「問題の意味が分からない」というのは致命的なので、問題の意味から。

先ず、(c)でα_n = Σ_{1≦k≦n} p_k / (10^k) という実数は、 『0. p_1 p_2 p_3 ... p_n』という表記で表される小数であることはいいですか？例えばp_1 = 3, p_2 = 3, p_3 = 3として、 α_3 = α_n = Σ_{1≦k≦3} p_k / (10^k)というのは、実際に計算すると正に『0.333』ですね？
で、仮に全ての自然数nに対して、p_n = 3 とすると、

lim_{n→∞} α_n = lim_{n→∞} Σ_{1≦k≦n} p_k / (10^k) = lim_{n→∞} Σ_{1≦k≦n} 3 / (10^k)
= (3/10) * { 1 / (1 - 1/10) } = (3/10) * (10/9) = 1/3

ですが、1/3を小数として書くと、0.333..... となりますね。そこで、全ての自然数nに対して、p_n = 3 となる数列{p_n}は、1/3の小数展開である、といっているわけです。
要は、p_k というのは、実数αを小数で表記した時の小数点以下第k桁目の数（に違いない）わけです。

で、(b)の 「n≧mなる全ての自然数mに対して、p_n = 9となるようなmは存在しない」というのは、要は実数αを小数表示したとき、ある小数桁以上全ての桁が9となるような小数表示は使いません、というわけ。0.4999........ という表記は使わないわけです。

で、
(1)
例えば1/3 の小数展開{p_n} （の一つ）は、p_n = 3 となる数列ですが、この時α_n = Σ_{1≦k≦n} p_k / (10^k)というのをこのp_nで計算すると、0.333..... 3 (但し3がn個）となって、要はα_n はαを小数表記した時「小数点以下第n桁までで打ち切った数」です。で、(1)は、元の実数αと、αを「小数点以下第n桁までで打ち切った数」との誤差は1/(10^n)よりは小さい事を示せ、といっている。
今の例の場合、1/3 と 0.333....3 (但し3がn個）の誤差は、1/(10^n) = 0.0000001 (小数点以下の0の数はn-1個）より小さい事を示せ、といっているわけです。
但し、ここで(b)『0.4999........ という表記は許さない』といっているのがポイント。

(2)は、そのまんまで、『0.4999........ という表記は許さない』という条件で、ある実数αの小数表記は（あったとしても）ただ1つに限る、つまり2通り以上の小数表記は（『0.4999........ という表記は許さない』という条件で）出来無いことを示せ、といっている。

取り敢えず問題の意味だけ書きました。回答のヒントは一旦区切って書きます。