因数分解をせよ x^3+a^3とは？

質問

そのままの意味ですが因数分解をせよ x^3+a^3とはどうやって解くのですか？
そもそも
展開せよと因数分解せよはどうやって見分けるものなのですか？
他にもよく皆さんが考える数学用語があれば見分け方教えてください

回答No.7

noname#222520 · ベストアンサー

x^3+a^3において、x=-aとすると、x^3+a^3=(-a)^3+a^3=-a^3+a^3=0
よって、x^3+a^3はx+aを因数にもちます。（x+aで割り切れます。）
実際にこの割り算をすると、x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)
（因数でくくるから因数分解です。）
ここで、x^2-ax+a^2=0とおいて、これをxについての2次方程式であるとすると、
判別式D=a^2-4a^2=-3a^2
よって、a＝0とするとx^3=x^3となり、a≠0であればD＜０であるから、x^2-ax+a^2は実数の範囲で因数分解できないことになります。
なお、x^3+a^3→(x+a)(x^2-ax+a^2)の向きの流れが因数分解で、
この逆の(x+a)(x^2-ax+a^2)→x^3+a^3の向きの流れが展開です。
また、f(x)=x^3+a^3とおいて、f(-a)=0となることから、x^3+a^3がx+aを因数にもつという考え方を、因数定理といいます。