a₁=6 b₁=-8

質問

a₁=6　b₁=-8

a(n+1)=7an+3bn
b(n+1)=an+5bn

この連立漸化式がとけないです。教えてください。

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

a(1)=6
b(1)=-8
a(n+1)=7a(n)+3b(n)
b(n+1)=a(n)+5b(n)

A=
(7,3)
(1,5)

X(n)=(a(n);b(n))
とすると

X(1)=(6;-8)
X(n+1)=AX(n)
だから
X(n)=A^{n-1}X(1)

Aの固有値をt
とすると
|7-t,3|=(7-t)(5-t)-3=32-12t+t^2=(t-8)(t-4)=0
|1,5-t|
t=4,8
固有値4に応ずる固有ベクトルを(u;v)とすると
(7,3)(u)=(4u)
(1,5)(v).(4v)
7u+3v=4u
u+5v=4v
u+v=0
v=-u
(u;v)=(u;-u)=u(1;-1)
固有値8に応ずる固有ベクトルを(u;v)とすると
(7,3)(u)=(8u)
(1,5)(v).(8v)
7u+3v=8u
u+5v=8v
3v=u
(u;v)=(3v;v)=v(3;1)

P=
(1.,3)
(-1,1)

H=
(4,0)
(0,8)
とすると

A=PHP^{-1}
だから

X(n)
=A^{n-1}X(1)
=(PHP^{-1})^{n-1}X(1)
=PH^{n-1}P^{-1}X(1)
=
(1.,3)(4^{n-1},0)(1/4,-3/4)(6)
(-1,1)(0,8^{n-1})(1/4,1/4.)(-8)
=
(4^{n-1},3*8^{n-1})(1/4,-3/4)(6)
(-4^{n-1},8^{n-1}.)(1/4,1/4.)(-8)
=
(4^{n-2}+3*8^{n-1}/4,-3*4^{n-2}+3*8^{n-1}/4)(6)
(-4^{n-2}+8^{n-1}/4.,3*4^{n-2}.+8^{n-1}./4.)(-8)
=
(6*(4^{n-2}+3*8^{n-1}/4)-8(-3*4^{n-2}+3*8^{n-1}/4))
(6*(-4^{n-2}+8^{n-1}/4)-8(3*4^{n-2}+8^{n-1}/4))
=
(30*4^{n-2}-12*8^{n-2})
(-30*4^{n-2}-4*8^{n-2})
∴
a(n)=30*4^{n-2}-12*8^{n-2}
b(n)=-30*4^{n-2}-4*8^{n-2}

回答No.1

trytobe

a(n+1)=7an+3bn
b(n+1)=an+5bn

の２式をそのまま足し算してしまえば、ａとｂまとめての漸化式が作れる。