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解き方

漸化式の問題で a1=2,a(n+1)=2an+4^(n+1) (n=1,2,…) 両辺を2^(n+1)で割るとbn=an/2^n a(n+1)/2^(n+1)をb(n+1)とおいて、 b(n+1)=bn+2^(n+1) このあとどのようにとくか分かりません。 お願いします。 それから、わたしは2^(n+1で割ったのですがほかの数字ですか? よくわからないのでお願いします。

みんなの回答

  • eatern27
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回答No.2

>4^(n+1)で割ったのですが複雑な式になってしまいました。 >解き方がぜんぜんわかりません。 >できれば教えてほしいのですが駄目でしょうか? そんなに複雑になりますかね? a[n+1]=2a[n]+4^(n+1)の両辺を 4^(n+1)で割ると a[n+1]/4^(n+1)=(a[n]/4^n)/2+1 c[n]=a[n]/4^nとおくと、 c[n+1]=c[n]/2+1 c[n+1]-2=(1/2)(c[n]-2)=(1/2)^n(c[1]-2) ここで、c[1]=a[1]/4^1=1/2だから、 c[n+1]-2=(1/2)^n*(-3/2)=-3(1/2)^(n+1) c[n+1]=2-3(1/2)^(n+1) ∴c[n]=2-3(1/2)^n+2 a[n]/4^n=2-3(1/2)^nより、両辺に4^nをかけて a[n]=2*4^n-3*2^n=2^(2n+1)-3*2^n となります。複雑でしたか?

  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.1

boku115さんのように2^(n+1)で割っても解けますね。 b(n+1)-b(n)=2^(n+1) ですから、階差数列ですね。(この後はご自分で) もしくは、4^(n+1)で割ってc(n)=a(n)/4^nとおくと c(n+1)=c(n)/2+1 となるので、c(n)が簡単に求まるので、a(n)も求まります。

boku115
質問者

補足

4^(n+1)で割ったのですが複雑な式になってしまいました。 解き方がぜんぜんわかりません。 できれば教えてほしいのですが駄目でしょうか?

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