中学受験算数 周期

質問

《問題》
95、131、194のそれぞれを同じ整数で割るとあまりが出てそのあまりがすべて等しくなりました。割った整数として考えられる1以外の数をすべて答えなさい。
《答え》3、9

上記の問題のわかりやすい解説をお願いいたしますm(_ _)m

回答No.2

shintaro-2 · ベストアンサー

>95、131、194のそれぞれを同じ整数で割るとあまりが出てそのあまりがすべて等しくなりました。割った整数として考えられる1以外の数をすべて答えなさい。

序数をａ、余りをｂとすると
95=aX+b　　（１）
131=aY+b　　（２）
194=aZ+b 　　　（３） X,Y,Zは整数と表せる
（２）－（１）より、a(Y-X)=36
（３）-（２）より、a(Z-Y)=63
(3)-(1)より、a(z-x)=99
つまり、求める同じ整数ａは、36,63,99の公約数である。
よって、a=3,9

お礼

ありがとうございます！
納得できました！

回答No.4

bgm38489

各位の数を全部足してみる。答えが二桁以上になる奴は（三桁なんてまずありえんが）もう一度同じ操作を繰り返す。すると、全て５になりますね。これは、どの数も９の倍数+５ということなのです。
これは、９の倍数に対し、同じ操作をした時、全てが９になる、ということからきています。もっと言うと、全ての自然数を並べると、１～９の繰り返しとなる。各数字の倍数も見ていけば、面白い。これは元々、掛け算の検算に用いられるものですがね。
こんなことを研究すれば、こんな問題の答えはすぐに見当がつくようになりますよ。
だから、９で割れば余り５。ということは、３で割れば余り２です。

お礼

ありがとうございます！
参考になりました！

回答No.3

noname#222520

解けないよりは何とかして解けた方がいいので、この解法は苦肉の策（邪道）だと言えるかもしれません。
よって、あまりお勧めはできません。

奇数が2つ、偶数が1つなので、割った整数として偶数はあり得ません。
奇数を偶数で割ったとき、割り切れることはなく必ず奇数のあまりがあり、偶数を偶数で割ったとき、あまりがあるとすると必ず偶数になります。

よって、まず3で割るとどうなるかを考えます。
9+5=14=3*4+2、1+3+1=5=3+2、1+9+4=14=3*4+2
この点に気付けば（多くの問題に習熟していれば、すぐに気付きます。）、95、131、194のそれぞれを3で割ると、あまりがすべて等しく2になることがわかります。
95=3*31+2、131=3*43+2、194=3*64+2

さらに、
3+1、4+3=7=3*2+1、6+4=10=3*3+1
よって、
95=3*(30+1)+2=9*10+5、131=3*(42+1)+2=9*14+5、194=3*(63+1)+2=9*21+5
同様に、95、131、194のそれぞれを9で割ると、あまりがすべて等しく5になることがわかります。
（9は1以外に3と9しか約数をもちません。）

あとは、10、14、21が公約数をもつか、同じ整数で割ってあまりがすべて等しくなるかどうかを考えます。
10=2*5、14=2*7、21=3*7
これから、公約数をもたず、最初の考え方と同様に、割った整数として偶数はあり得ません。
21は3で割り切れ、10は5で割り切れ、14と21は7で割り切れるので、考察するのは9についてだけで、
10=9+1、14=9+5、21=9*2+3
であり、条件を満たす整数はありません。

以上から、答えは3と9になります。

お礼

ありがとうございます！
じっくり考えてみること、大事ですね。
参考になりました！

回答No.1

MSZ006

もっと効率のいい方法があるかもしれませんが、、

95と131の差は36で、131と194の差は63です。
36と63で、これらの数を共通に割り切ることができる数は3と9です。

95,131,194をそれぞれ3で割るとあまりはすべて2で題意に合っています。
95,131,194をそれぞれ9で割るとあまりはすべて5で題意に合っています。

ということで、答えは3,9です。