算数の問題が説明できません

質問

教えてください。※はわからない点です。
某問題集に　
１から？までの整数をすべてかけあわせた数を、わり切れるかぎり１２で繰り返しわると、商が２５０２５になります。？の数をもとめなさい。
※問題は１×２×３×‥とある数まで繰り返し、その答えをわりきれるかぎり１２でわっていくことか。
※上記のくりかえしの結果最後の商が２５０２５になるということか。
（問からよくわかってなくてすみません)

上記問題解答
素数の積に分けて考える　１２＝２×２×３、２５０２５＝５×５×７×１１×　１３　より
※まずここでなぜ素数にわけるのかが説明できません。（そんなもんだとしか）

少なくとも１から１３までの整数をかけていることがわかる。

１４＝２×７で、１４以上の整数までかけると、商に７が２つ残ることになる
※商に７が二つのこるとは。７が２つのこるとなんでだめなのか。

子供にあなたにはレベルが高いと保留しながらも、自分自身でもすっきりしません。算数にがて親子にわかりやすく教えていただけないでしょうか。

回答No.6

chie65536 · ベストアンサー

＞※はわからない点です。
＞※問題は１×２×３×‥とある数まで繰り返し、その答えをわりきれるかぎり１２でわっていくことか。
＞※上記のくりかえしの結果最後の商が２５０２５になるということか。

問題文を噛み砕くと
－－－－－－
１×２×３×４×…と掛けて行って、ある数「Ｘ（エックス）」まで掛けた。

掛けて出た答えが１２で割れるなら割って、その商がまた１２で割れるなら割ってと繰り返したら、２５０２５になって１２で割り切れなくなった。

この時、ある数「Ｘ（エックス）」は幾つでしょうか？
－－－－－－
と言う事です。

＞素数の積に分けて考える　１２＝２×２×３、２５０２５＝５×５×７×１１×１３より
＞※まずここでなぜ素数にわけるのかが説明できません。（そんなもんだとしか）
「たくさんの整数を掛け合わせた数は、もっとたくさんの素数を掛け合わせた数と等しくなるから、素数にわけて、一番大きな素数を見ると、少なくとも、その素数まで掛け算を続けたのが判る」のです。

「１×２×３」は「素数の１と２と３を掛け合わせた数」です。「たくさんの整数を掛け合わせた数は、たくさんの素数を掛け合わせた数と等しい」ですね。

「１×２×３×４」は「１×２×３×（２×２）」ですから「素数の１と２と２と２と３を掛け合わせた数」です。「たくさんの整数を掛け合わせた数は、たくさんの素数を掛け合わせた数と等しい」ですね。

「１×２×３×４×５」は「１×２×３×（２×２）×５」ですから「素数の１と２と２と２と３と５を掛け合わせた数」です。「たくさんの整数を掛け合わせた数は、たくさんの素数を掛け合わせた数と等しい」ですね。

「１×２×３×４×５×６」は「１×２×３×（２×２）×５×（２×３）」ですから「素数の１と２と２と２と２と３と３と５を掛け合わせた数」です。「たくさんの整数を掛け合わせた数は、たくさんの素数を掛け合わせた数と等しい」ですね。

「１×２×３×４」を素数に分け「１×２×３×（２×２）」にすると「最大の素数は３」ですから「少なくとも、３までは掛け続けた」のが判ります。

「１×２×３×４×５」を素数に分け「１×２×３×（２×２）×５」にすると「最大の素数は５」ですから「少なくとも、５までは掛け続けた」のが判ります。

「１×２×３×４×５×６」を素数に分け「１×２×３×（２×２）×５×（２×３）」にすると「最大の素数は５」ですから「少なくとも、５までは掛け続けた」のが判ります。

さて、ここで「１２で割り続ける」を考えます。

「１２で割る」のは「２で割って、更に２で割って、更に３で割る」と言うのと同じです。

つまり「たくさんの素数を掛けた、掛け算の式から、２を２つと３を１つ取り除く」と言う事です。そして「１２で割り続ける」のは「２を２つと３を１つ取り除く、を繰り返す」と言う事です。

「１×２×３×４×５×６」を素数に分け「１×２×３×（２×２）×５×（２×３）」にして「２を２つ、３を１つ取り除く」と「１×２×５×２×３」です。更に「２を２つ、３を１つ取り除く」と「１×５」が残ります。

これを元の問題文に当てはめると「１から？までの整数をすべてかけあわせた数を、わり切れるかぎり１２で繰り返しわると、商が５になります。？の数をもとめなさい。」と言う事になります。「１×５」が残ったのですから「商が５になります。」って事です。

では、元の問題文で考えます。

「１×２×３×４×５×６×７×…………×？」を素数に分け「１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×…………×？」にして「２を２つ、３を１つ取り除くのを繰り返す」と「５×５×７×１１×１３」が残りました。

残った素数の中に「１３」があるので「少なくとも１３まで掛け算を繰り返した」のが判ります。

つまり『ある数「Ｘ（エックス）」は１３以上』と言う事です。

＞１４＝２×７で、１４以上の整数までかけると、商に７が２つ残ることになる
＞※商に７が二つのこるとは。７が２つのこるとなんでだめなのか。

１４まで掛けると「（まだ１２で割ってない）素数にばらした式」は「１×２×３×（２×２）×５×（２×３）×７×（２×２×２）×（３×３）×（２×５）×１１×（２×２×３）×１３×（２×７）」になります。

この式には「７が２つある」のが判りますね。「１４まで掛けると、７が２つになる」のです。

逆に言えば「残った中に７が１つしかない」のなら「１４は掛けてない」のが判ります。

もし１４まで掛けると「１４は、素数の２と７を掛けたもの」ですし、途中で「素数の７」も掛けてるので「１４まで掛けたなら、７が２個残らないとならない」のです。言い換えれば「７が２個残るなら、１４まで掛けた筈。７が２個無いなら、１４は掛けてない」と言う事です。

つまり『ある数「Ｘ（エックス）」は１４未満』と言う事です。

まとめると『ある数「Ｘ（エックス）」は１３以上』で、かつ、『ある数「Ｘ（エックス）」は１４未満』です。

結論は「１３以上で、１４未満の数」つまり「１３」が答えになります。

お礼

こまかくかみ砕いて書いていただきありがとうございます。お手間をかけました。
娘にはcｈie65536さんの書かれたものが、読みながらよくわかったそうです。

とくに”たくさんの～”の部分で、なぜ素数にするのかが”わかった”そうです。何度も繰り返していただいたので覚えたようです。ほかの問題にも応用できそうな気がするそうです。

「１×５」が～「商が５になります」のたとえに親子で”ああそうか”とよくわかりました。あと、７が二つあるのがなぜいけないのかが、親子二人で納得です。
ありがとうございました。

回答No.5

nrb

答えは１３ですね
普通に１３回電卓たたくと答えはでますが
それでは数学にならないので

まず式と書くと

ｎ！÷（１２のA乗）＝２５０２５

ｎ！＝（１２のA乗）×２５０２５

２つ式が無いと解けない
のでパズル方式にします

１２を分解しますね

１２＝２×２×３
これを種類別にすると
２×２×３
３×４
２×６
の３通りあります

ｎ！÷（１２のA乗）＝２５０２５
のAは０以上の整数しか駄目です
ｎも整数です

まずはｎの数字を考えます
２５０２５は
７！は５０４０
８！は40320
となりますのでAは０では無いことがわかります

次に
ｎ！の中に必ず
２×２×３
３×４
２×６
これらが存在しないとだめです
２５０２５は５の倍数です

したがって
２×２×３×５が存在しないといけません
こここで判るのは
３．４．５が必ず含むことが判る
かならずｎは奇数である
２５０２５
を分解すると
２５０２５÷５＝５００５
５００５÷５＝１００１

7 × 11 × 13＝１００１

５×５×７×１１×１３＝２５０２５

ここで最低１３であることが判ります

２×２×３
３×４
２×６
これらをつかって埋めて生きます

１、２．３．４

３．４これは１２になります
２が今は残る

１、２．３．４、５、６
ここで
２×６＝１２
５は５×５×７×１１×１３＝２５０２５の中にあります

１、２．３．４、５、６、７．８．９．１０．１１．１２．１３
残りは
１２と１０、８、９です
１０は２×５となり５×５×７×１１×１３は全部でました
このりは
１２、８、９、２
１２は１２で割れるの無視
８、９、２は
３×３×４×４ですの１２×１２

となりみごとに完成・・・・・・・・・・
これで
１３！の数字が１２の倍数であり２５０２５の倍数です

お礼

たくさん書いていただきありがとうございました。親がまず理解して娘に説明しました。

なぜ５が存在しなければならないか、３、４、５がかならずふくまれるのはなぜか（なぜ２とか３とか５などがあらわれるのか、なぜ２、３などでなければいけないかが、素数だからの説明では、ぼんやりとわからなかったそうです）、
ｎは奇数であるなどに親子ともどもなるほどと思いました。
ありがとうございました。

回答No.4

Ridden

まず問題文で商がといっているので
１２で複数回割った答えが２５０２５になるというのがわかります

次に素数に分ける理由ですが
素因数分解という作業をやっているわけです
１以外の数字は素数をかけた形に分解することが出来ます
たとえば６という数字は２ｘ３というふうに表すことができます
ということは
かけたりわったりしてた結果の２５０２５という数字は

１２を素因数分解した２ｘ２ｘ３の塊だけがなくなっている数字

となります
なので２５０２５を素因数分解するとかける前の数字に
近づけることができます

そこでやってみると５ｘ５ｘ７ｘ１１ｘ１３となるわけですが
１３までは確実にかけていることがわかります
そこで１３の次の数１４をかけてあったとすると
素因数分解をしたときに１４の素因数である７がでてくるわけですが
２５０２５の中には７は一回しか出てきません
１～１３をかけるたとき７もかけることになるので
１３まででもう既に一回７があるります
１４をかけていたならば商を素因数分解したとき
７は二個でなければいけなくなります
なので１３までかけたということがわかります

お礼

説明をいただきありがとうございます。
２５０２５という数字は、１２を素因数分解した２×２×３の塊がなくなった数字であるという説明は、娘にはとてもいい説明だったようです。
とった最後にのこったものから考えたなぜ７は２個あってはいけないかがわかったようです。ありがとうございました。

回答No.3

lotdid

電卓をつかっていいならこういう考え方もできます。

何回12で割ったのか？
25025の前は

25025*12＝300,300＝1*2*3*50050
となりますが、50050が4で割り切れません。

同様に
25025*12*12＝3,603,600＝1*2*3*4*5*6*7*715
→715が8で割り切れない

25025*12*12*12＝3,603,600＝1*2*3*4*5*6*7*715
→715が8で割り切れない
・・・
・・・
・・・
25025*12*12*12*12*12＝6,227,020,800
＝1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13
となります。

小学生？子供には素数という概念も難しいでしょうから、
数字に興味を持ってもらうには、
逆からのアプローチも面白いと思います。
からすると素数の概念も若干わかりやすいと思います。

お礼

説明ありがとうございました。今回たくさんの方に答えていただき、すこしずつ違う説明が娘には、多方面からの理解になり、一問でいろいろ勉強できています。
lotdidさんの答えはゲーム的で楽しかったようです。なかなか素数とはなんぞを小５普通レベルの娘にすっきりわかるよう説明するのは難しく、昔の私のように、もやもやわからないまま算数嫌いになりそうなので、興味をもたせるのは大変です。分解して考えていくやりかたもあれば、電卓片手に解いていくやりかたもある、いろいろある、いろんなやりかたがあるということを教えていただきありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

>※問題は１×２×３×‥とある数まで繰り返し、その答えをわりきれるかぎり１２でわっていくことか。
>※上記のくりかえしの結果最後の商が２５０２５になるということか。

そういうことです。これ以外の解釈は困難です。

>※まずここでなぜ素数にわけるのかが説明できません。（そんなもんだとしか）

すべての正の数は素数の積に一通りに分解できます．
12とか25025とかいう数で考えるのは困難なので
それの構成要素である素数に分解して考えるというわけです。

1から？までの数を全部掛け算したということは
絶対にその中に1から？までのすべての素数があります。
中には複数入っている素数も当然あります。

この「かけた数」を12で割るということは。
2を二個，3を一個取り除くということになります。
25025= 5が2個，7，11，13が一個ずつです。
こういう数を「1から？をかけた数」から「2を二個，3を一個」
だけ取り除く操作で作り出そうとすると，
「1から？をかけた数」には絶対に「5が二個，7，11，13が一個」が
含まれなければいけません．
そのためには最低でも，「1から13まで」かけなければいけません．
「1から13まで」には，5と10がありますから，
「5が二個，7，11，13が一個」の条件は満たします．
しかも，「1から13までかけた数」には
「5，7，11，13」と「2，3」以外の数は含まれません
（複数個入ってるのはかまいません）．
ここで，14もかけてしまうと，14=2x7ですので，
7がもう一個入ってきます．
12で割るとは「2を二個，3を一個」取り除くことなので
14までかけてしまった場合の「余分な7」はいつまでも残ります．
つまり，25025にはなりえません．
したがって「答えの候補」は「1から13までをかけた数」です．

1から13までかけた数は
1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13
= 2x3x(2x2)x5x(2x3)x7x(2x2x2)x(3x3)x(2x5)x11x(2x2x3)x13
= (2が10個)x(3が5個)x5x5x7x11x13
= {(2が二個)x(3が1個)}が5個 x5x5x7x11x13
よって，1から13までかけた数を12で5回割ることで
5x5x7x11x13 = 25025
になるので，求める答えは「13」

こうやって「掛け算」を分解することで
その構成要素の個数を数えるという
対象が小さい数の問題に変換してしまうのです．

お礼

こまかな説明をありがとうございます。
なぜ１３までなのかの説明が、”こういう数を～”から順をおって理解できました。分解して考える必要がなぜ必要なのか、娘に説明できました。分解するのは大きな数では考えられないからだけでなく、数の構成から考えていくためにも必要なのですね。親も何かがわかったきがします。ありがとうございました。

回答No.1

outerlimit

A:１２＝２×２×３　は　2*3*4/2
B:２５０２５＝５×５×７×１１×　１３　か5*7*10*11*13/2

Bより　最低でも　1～13までかけることになる

1*(2)*(3*4)*5*(6)*7*(8*9)*10*11*12*13
これから12で割り切れる要素を除去
3*4　2*6　8*9　12　が除去されて　2*25025となる　ので　13まででは満足しない
14までとすると　2*14*25025　で12で割り切れない　同様に　15までとすると
2*14*15*25025　2*2*7*3*5*25025　＝（2*2*3）*5*7*25025　で12で割り切れる

算数では　この程度でしょうか

お礼

説明をありがとうございました。
最初の２行の説明から１～１３までかけることがみちびかれているのをみて、私にはぽんとこんな発想は出ないわと思いました。
娘も最初の２行をみて、こんなふうに２から１３までだすやりかたもあるのかと興味深げでした。（どうやったらこんな発想がぽんとでるようになるかは、勉強しろとしかいえませんでしたが）
今回皆様がいろいろなやりかた考えかたをかいていただけたので、娘は（私自身も）考えかたは一つでないことを学びました。
ありがとうございました。