中学受験算数…教えてください！

質問

算数が苦手な子にも理解できるような解説をお願いします。

Q. １×２×3×4×…のように、1から順にある整数までの積を計算したところ、一の位から0が連続して50個並びました。
ある整数はいくつですか？
最も大きい整数を答えなさい。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

ちなみに、答えは209です。

回答No.1

gohtraw

問題のような掛け算をしてゼロの数が増えるのは、
（１）１０の倍数を掛けたとき
（２）一の位が５である数を掛け、さらに一の位が２，４，６，８のいずれかである数を掛けたとき
です。（１）の、１０の倍数も５の倍数ですから、結局５の倍数がいくつあるか考えればいいことになります。

但し、２５とか７５のような２５の倍数は５＊５とか５＊５＊３のように５が二回出てくるので、これは５の倍数二つ分と考えます。

同様に１２５とか２５０のような１２５の倍数は５＊５＊５とか５＊５＊５＊２のように５が３回出てくるので、これは５の倍数三つ分と考えます。

１から１００までの間に５の倍数は２０個あり、２５、５０、７５、１００は二つ分と考えるので、１から１００まで掛けるとゼロの数は２４個です。

１０１から２００までの間に５の倍数はやはり２０個あり、１２５は三つ分、１５０、１７５、２００は二つ分と考えるので、１０１から２００まで掛けるとゼロの数は２５個です。

上記より、１から２００までを掛けるとゼロの数は４９個となり、あと一つゼロが増えるには２０２と２０５を掛ければいいことになります。しかし２１０を掛けてしまうとゼロが５１個になってしまうので、求める整数は２０９となります。

実は上記の（２）で、一の位が２，４，６，８のいずれかである数が一の位が５である数よりも多数ある（最悪同数）ことを確認しないといけません。そうでないと一の位が５である数があってもゼロが一つ増えないことになりますから。これについては、一の位が５である数の隣は１の位が４あるいは６であり、３を足したり引いたりすれば一の位は２または８になるので、後者の方が多数あることが判ります。

お礼

丁寧な解説、ありがとうございました！
子供もよく理解できたようです。