ｎ次元の三角関数というものはありますか

質問

普通の三角関数は２次元に対応しているように思いますが、３次元とか、それ以上のｎ次元に対応している三角関数のようなものはあるのでしょうか。

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

三角関数は一つの座標軸方向の分布を示すもので、２次元だと

f(x,y)=sin(ax)cos(by)

あるいは

g(x,y)=sin(px+qy)

のような使い方をして、次元が増えてもこのような使い方はできます。

いわゆる波動の解析、量子力学にも使います。

3次元では

f(x,y,z)=sin(ax+p1)sin(by+p2)sin(cz+p3)

のように使っています。さらに時間を組み合わせて

f(x,y,z,t)=sin(a(x-vxt)+p1)sin(b(y-vyt)+p2)sin(c(z-zt)+p3)

のような使い方もします。

お礼

ご教示を座右において勉強させていただきます。

回答No.5

178-tall

>普通の三角関数は２次元に対応しているように思いますが、３次元とか、それ以上のｎ次元に対応している三角関数のようなものはあるのでしょうか。

「３次元」なら、「立体角」とか？

　　　　↓

一例 : 参考 URL

参考URL：

http://be.nucl.ap.titech.ac.jp/~koba/cgi-bin/moin.cgi/%E7%AB%8B%E4%BD%93%E8%A7%92

お礼

なるべく勉強したいと思います。

回答No.4

tsubasa128

"普通の"三角関数を、二次元の座標（xとy）を距離（r）と角度に変換するものだとすれば、3次元に対しては通常下のように三角関数を組み合わせて使いますね（球座標）。変数の数を減らすことはできないので距離とさらに角度が2つ必要になります。
x =r cos(phi) sin(theta)
y =r sin(phi) sin(theta)
z = r cos(theta)

もっとエレガントなものとしては行列変換や四元数なんかもあります。質問の内容から少々ずれるかもしれませんし、大学レベルで、簡単に理解できるものではありませんが、興味深く便利で、CGなどでも使われているものです。

お礼

経済的な問題もさることながら、大学はおろか高校も危ないので、理解は到底不可能ですが、自分んぽ知らない世界があることだけはわかりました。大変為になるご教示をいただきました。

回答No.3

hg3

No1です。

＞普通というのは二次元平面上の円周を考えていました。
＞円周が三次元（凹凸のある円）になっても三角関数の
＞ようなものがあるのかなと思いました。

何か「三角関数」を誤解されているようですね。
「二次元平面上の円周」を表す関数は三角関数に限りません。
例えば、原点を中心とした半径ｒの円は、
x^2＋ｙ^2＝ｒ^2
という関数で表せます。

もちろん三角関数を使い
ｘ＝r・cosθ
ｙ＝ｒ・sinθ
と表すこともできますが、あくまでもそれは円を表す方法のひとつであるというだけのことであり、”円周＝三角関数”ではありません。

三角関数というのは、sin、cos、tan、sec、csc、cotの６つであり、それぞれ、きちんと定義があります。（長くなりますから定義は割愛します。）
その定義をきちんと理解していれば、n次元に対応するとかしないとかいう発想は出てこないと思います。
それ故、２次元に対応するの意味が分からないと指摘したのです。

円周に限らず、2次元の図形を三角関数を用いて表すことができることをもって、「三角関数が2次元に対応している」というのであれば、3次元だろうと、n次元だろうと、何らかの図形を三角関数を用いて表すことはできます（No2の回答者さんが挙げているのがその一例です。）から「n次元に対応している」ということになるでしょう。

お礼

なかなか高校までいけません。

回答No.1

hg3

＞普通の三角関数は２次元に対応している
の意味が分かりません。

「普通」とは何でしょう？
どういう関数が普通で、どういう関数が普通じゃないのか？

「２次元に対応」とはどういう意味ですか？
変数が２つ（例えばｘ、y)という意味ですか？
もしそうなら、ｙ＝f(x）という関数は全て２次元ですけど。

お礼

普通というのは二次元平面上の円周を考えていました。円周が三次元（凹凸のある円）になっても三角関数のようなものがあるのかなと思いました。