DA=DB=DC=a,BC=CA=AB=6

質問

DA=DB=DC=a,BC=CA=AB=6
で内接円の半径が1のときのaの値を
対称性を使って、接点を求めず、
断面を考えて、求めてください
お願いします

回答No.6

staratras · ベストアンサー

No.4&5 です。「断面を考えて、求めてください」という条件を考慮した別解です。
下の図の右側は、三角錐を辺DAを通り底面に垂直な平面で切断した図です。
BCの方向から見た立面図ということもできます。Eは側面DBCと、Hは底面ABCと、それぞれ
O(O')を中心とする内接球が接する点です。三角錐の高さはNo.4で求めたようにD’H=√(a^2-12)です。

ここで右の図のD'B'の長さは、二等辺三角形DBCの頂点DからBC(の中点）に下ろした垂線の長さに等しいのでD'B'=√(a^2-9)です。またA'H=2√3、H'B'=Ｂ'E=√3　です。

直角三角形D’O’Eについて三平方の定理から
（√(a^2-12）ー１）^２＝（√(a^2-9)ー√3)^２+１^２　　が成り立ちます。

これを解くと　a=√21　が得られます。

回答No.5

staratras

No.4 です。下から４行目の訂正です。

誤：整理すると√( a^２-１２)=１+・３・√( a^２-９）
正：整理すると√( a^２-１２)=１+・（１/√３）・√( a^２-９）

回答No.4

staratras

題意はNo.3の方と同じように解釈します。

立体は底面が１辺６の正三角形の直三角錐なので、頂点Dから底面に垂線DHを下ろすと
Hは正三角形の重心となるので、AH＝２√３である。三角形DAHにおいて三平方の定理から
DH^２=DA^２-AH^２=a^２-１２　　∴　DH=√( a^２-１２)　ただしa>√１２

ここで三角錐の内接球の中心をOとすると、各頂点とOを結ぶ線分と三角錐の各辺によって小さな三角錐が4つできる。このうち一つは底面が１辺６の正三角形、残りの3つは底辺が６で等辺がaの二等辺三角形（この高さは√( a^２-９））で、小三角錐の高さはすべて内接球の半径１である。

三角錐の体積について、全体を一つと見た場合と、4つに分けた場合について次の等式が成り立つ。
１/３・１/２・６・３√３・√( a^２-１２)=１/３・１/２・６・３√３・１+３・１/３・１/２・６・√( a^２-９）・１
整理すると√( a^２-１２)=１+・３・√( a^２-９）
a^２-１２=Ａ　とおくと　（A>０）　√Ａ=１+（√（ Ａ+３)）/√３
√Ａ-１=（√（ Ａ+３)）/√３　これを平方して整理すると
√Ａ(√Ａ-３）=０　√Ａ＝３　∴a^２-１２=９　∴　a=√２１　これはa>√１２を満たす。

回答No.3

info222_

>DA=DB=DC=a,BC=CA=AB=6

立体ABCDは直三角錐ではないですか？

>内接円の半径が1のときのaの値を

内接円は内接球の間違いではないですか？

そうだとして、AB, BC, CAの中点をそれぞれL,M,Nとし、Ｄから正三角形ABCへの垂線DHの足をHとする。球の中心をOとし、OからDL,DM,DNに下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,Rとする。　
相似比が等しいことを使って式を立てると
DL/HL=DO/PO
√(a^2-3^2)/√3=(√(a^2-12)-1)/1 (a>√12)

これをaについて解くと
a^2-9=3(a^2-11-2√(a^2-12))
2(a^2-12)=6√(a^2-12)
a^2-12>0より　2√(a^2-12)>0で両辺を割ると
√(a^2-12)=3
a^2-12=9
a^2=21
∴a=√21 .... (答)

回答No.2

noname#232123

質問は、初めて見る者がその内容を完全に理解できるよう、きちんと記述してください。

回答No.1

bran111

図形が何なのかを説明しなさい。図を示しなさい。