レピュニットの分解

質問

知恵をお貸しください。
10^k＝m^2－n(n＋2)・・・［１］を満たす整数m、nを探す方法がないでしょうか。

1111111＝239×4649（よろしく）という興味深い素因数分解に出会い、趣味で一般のレピュニットを積に分解する方法を調べています。
（レピュニット→　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88　）

作戦として、直接分解するのではなくレピュニット×9、つまり10^k－1を分解し、その後9で除すという方法を考えています。そして、もし［１］を満たす整数m、nがみつかれば、10^k－1＝(m－nー1)(m＋n＋1)という積に分解できます。もちろん素数のレピュニットもあるのでm－nー1＝9，m＋n＋1＝レピュニットという自明な分解になってしまう可能性もあると思うのですが、そうでないことが多いようです。

特記すべきなのはk≧2のとき、（今調べている範囲では）必ずmが10の倍数になるケースがあることです。もっというと100の倍数になることもしばしば見られます。k＝7であれば
10^7＝3400^2－1248×1250
という具合です。ちなみにk＝7における［１］をみたす最小のmがm＝3400であり、これには何か神の意志を感じてしまいました。もし何もないところから［１］を満たすm，nを見出すことができればさまざまなレピュニットの素因数分解を手助けできると思います。

そこで［１］の有効な作り方に何かアイデアがあればご教示いただきたいのです。帰納法的に、k－1までの全てに［１］の形が存在することを前提にkのときに作るという方法でも構いません。よろしくお願いいたします。

（参考）［１］の例
k＝2　→　10^2＝18^2－14×16，50^2－48×50
k＝3　→　10^3＝32^2－4×6，60^2－50×52，168^2－164×166
k＝4　→　10^4＝168^2－134×136，460^2－448×450
k＝5　→　10^5＝320^2－48×50，468^2－344×346，1240^2－1198×1200
k＝6　→　10^6＝1020^2－200×202，1432^2－1024×1026，1968^2－1694×1696
k＝7　→　10^7＝3400^2－1248×1250，7332^2－6614×6616，21040^2－20800×20802
（注）上記は全てすでに知られているレピュニットの素因数分解から逆算して求めただけです。
しかし、見れば見るほど法則性がありそう・・・

回答No.3

jcpmutura

10^k=m^2-n(n+2)…[1]
J≠3(mod5)
となる任意の自然数Jに対して
m,nをm-n=2Jとなるように
次のように定めると[1]を満たす

J=1の時
自然数kに対して
m=5*10^{k-1}
n=m-2
とm,nを定めると[1]を満たす

J=2の時
自然数kに対して
n=(15Σ_{j=0～k-2}10^j)-1
m=n+4
とm,nを定めると[1]を満たす

J≠3(mod5)だからJ≠3

J≧4の時
5/(2J-1)
を小数で表した時
有限小数桁数をb
有限小数部の整数表記をa
循環節桁数をB≧1
循環節の整数表記をA
とすると
5/(2J-1)=a/10^b+A/(10^B-1)
となる
5*10^b(10^B-1)={a(10^B-1)+A*10^b}(2J-1)
2J-1≠0(mod5)
2J-1=1(mod2)
だから
2J-1は奇数10^B-1の約数となるから
10^B-1=(2J-1)(2C+1)
となる整数Cがあり
5/(2J-1)=5(2C+1)/(10^K-1)=A/(10^K-1)
となり(循環節だけとなる)
Lを任意の自然数
k=BL
n=AΣ_{j=1～L-1}10^{jB-1}+C-J
m=n+2J
とすると
n=A*10^{B-1}[10^{B(L-1)}-1]/(10^B-1)+C-J
n=5*10^{B-1}[10^{B(L-1)}-1]/(2J-1)+(2C-2J)(2J-1)/{2(2J-1)}
n=5*10^{B-1}[10^{B(L-1)}-1]/(2J-1)+{(2C+1)(2J-1)+(1+2J)(1-2J)}/{2(2J-1)}
n=5*10^{B-1}[10^{B(L-1)}-1]/(2J-1)+(10^B-1+1-4J^2)/{2(2J-1)}
n=5*10^{B-1}[10^{B(L-1)}-1]/(2J-1)+(10^B-4J^2)/{2(2J-1)}
n=5*10^{B-1}[10^{B(L-1)}-1]/(2J-1)+(2*5*10^{B-1}-4J^2)/{2(2J-1)}
n=5*10^{B-1}[10^{B(L-1)}-1]/(2J-1)+(5*10^{B-1}-2J^2)/(2J-1)
n=(5*10^{B-1}[10^{B(L-1)}-1]+5*10^{B-1}-2J^2)/(2J-1)
n=(5*10^{BL-1}-2J^2)/(2J-1)
n=(5*10^{k-1}-2J^2)/(2J-1)
(2J-1)n=5*10^{k-1}-2J^2
5*10^{k-1}=2J^2+(2J-1)n
10^k=4J^2+2(2J-1)n
10^k=(m-n)^2+2(m-n-1)n
10^k=m^2-n^2-2n
∴
10^k=m^2-n(n+2)…[1]
を満たす

例)
J=4の時
5/(2J-1)=5/7=714285/999999=(0.714285714285…循環小数)
循環節
A=714285
循環節桁数
B=6
10^B-1=999999=(2J-1)(2C+1)=7(2C+1)
2C+1=999999/7=714285/5=142857
C=(142857-1)/2=71428
C-J=71424
だから
任意の自然数Lに対して
k=BL=6L
n=71424+714285Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+8
と定めればm,nは[1]を満たす

J=5の時
5/(2J-1)=5/9=(0.555555555…循環小数)
循環節
A=5
循環節桁数
B=1
10^B-1=9=(2J-1)(2C+1)=2J-1
2C+1=9/9=1
C=0
C-J=-5
k=L
だから
任意の自然数kに対して
n=-5+5Σ_{j=1～k-1}10^{j-1}
m=n+10
と定めればm,nは[1]を満たす

J=6の時
5/(2J-1)=5/11=45/99=(0.4545…循環小数)
循環節
A=45
循環節桁数
B=2
10^B-1=99=(2J-1)(2C+1)=11(2C+1)
2C+1=99/11=45/5=9
C=(9-1)/2=4
C-J=4-6=-2
だから
任意の自然数Lに対して
k=BL=2L
n=-2+45Σ_{j=1～L-1}10^{2j+1}
m=n+12
と定めればm,nは[1]を満たす

J=7の時
5/(2J-1)=5/13=384615/999999=(0.384615…循環小数)
循環節
A=384615
循環節桁数
B=6
10^B-1=999999=(2J-1)(2C+1)=13(2C+1)
2C+1=999999/13=384615/5=76923
C=(76923-1)/2=38461
C-J=38461-7=38454
だから
任意の自然数Lに対して
k=BL=6L
n=38454+384615Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+14
と定めればm,nは[1]を満たす

J≠3(mod5)だからJ≠8

J=9の時
5/(2J-1)=5/17=2941176470588235/9999999999999999=(0.2941176470588235…循環小数)
循環節
A=2941176470588235
循環節桁数
B=16
10^B-1=9999999999999999=(2J-1)(2C+1)=17(2C+1)
2C+1=9999999999999999/17=2941176470588235/5=588235294117647
C=294117647058823
C-J=294117647058814
任意の自然数Lに対して
k=BL=16L
n=294117647058814+2941176470588235Σ_{j=1～L-1}10^{16j-1}
m=n+18
と定めればm,nは[1]を満たす

回答No.2

jcpmutura

m,nは整数
kは自然数
10^k=m^2-n(n+2)
とすると
(m-n)^2=10^k-2n(m-n-1)
右辺は偶数だから左辺m-nも偶数
m=n(mod2)
m-n=1(mod5)を仮定すると
1=m-n=0(mod5)となって矛盾だから
m-n≠1(mod5)
m-n≠6(mod10)
∴m-nは下1桁が6以外の偶数

k≧1の時
m=5*10^{k-1}
n=m-2

k≧2の時
n=(15Σ_{j=0～k-2}10^j)-1
m=n+4

k≧3の時
n=50Σ_{j=0～k-3}10^j
m=n+10

k=3L(L≧1)の時
n=4+185Σ_{j=1～L-1}10^{3j-1}
m=n+28

k=2L(L≧2)の時
n=5Σ{j=1～L-2}10^{2j+1}
m=n+100

n=134+15Σ_{j=1～L-2}10^{2j+1}
m=n+34

n=448+45Σ_{j=1～L-2}10^{2j+1}
m=n+12

k=5L(L≧1)の時
n=48+1845Σ_{j=1～L-1}10^{5j-1}
m=n+272

n=344+4065Σ_{j=1～L-1}10^{5j-1}
m=n+124

n=1198+12195Σ_{j=1～L-1}10^{5j-1}
m=n+42

k=3L(L≧2)の時
n=5Σ_{j=1～L-2}10^{3j+2}
m=n+1000

n=1334+15Σ_{j=1～L-2}10^{3j+2}
m=n+334

n=4448+45Σ_{j=1～L-2}10^{3j+2}
m=n+112

n=13494+135Σ_{j=1～L-2}10^{3j+2}
m=n+38

k=6L(L≧1)の時
n=200+6105Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+820

n=254+6435Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+778

n=374+7215Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+694

n=798+10395Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+482

n=950+11655Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+430

n=1024+12285Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+408

n=1248+14245Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+352

n=1534+16835Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+298

n=1694+18315Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+274

n=1800+19305Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+260

n=2048+21645Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+232

n=2550+26455Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+190

n=3424+34965Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+144

n=4214+42735Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+118

n=5448+54945Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+92

n=6454+64935Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+78

n=7904+79365Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+64

n=12840+128205Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+40

n=23798+238095Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+22

n=38454+384615Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+14

n=71424+714285Σ_{j=1～L-1}10^{6j-1}
m=n+8

k=7L(L≧1)の時
n=1248+23245Σ_{j=1～L-1}10^{7j-1}
m=n+2152

n=6614+69735Σ_{j=1～L-1}10^{7j-1}
m=n+718

n=20800+209205Σ_{j=1～L-1}10^{7j-1}
m=n+240

回答No.1

jcpmutura

10^k=m^2-n(n+2)…[1]

k=0の時は
m=n+1
とすれば
m^2-n(n+2)=(n+1)^2-n(n+2)=1=10^0=10^k

k≧1の時
m=5*10^{k-1}
n=m-2
とすれば
m^2-n(n+2)=(m-n)m=2m=2*5*10^{k-1}=10^k

お礼

ご回答ありがとうございます。しかしこの場合、
m－n－1＝m－(m－2)ー1＝1
m＋n＋1＝m＋(m－2)＋1＝10^k－1
となって自明な分解になってしまいます。

ただ、この式をスタートに変形するという方法があるかもしれませんね。少なくとも[1]を満たすm，nが存在することは言えましたので前進です。