数学の質問です。

質問

数学の質問です。
ベクトルの内積がベクトルの掛け算の意味でないと習いました。しかしこんな問題があります。

1辺の長さが2の正三角形がある。辺BCを3等分する点をBに近い方から順にP,Qとするとき、内積ベクトルAB・ベクトルBC、ベクトルAP・AQを求めよ。

AB・BCの方は解けました。
しかしAP・AQは分からず解説を見たら模範解答がこうなっていました。
よって…の後から、代入をして普通に掛け算をしています。なぜですか？

回答No.4

bran111 · ベストアンサー

>ベクトルの内積がベクトルの掛け算の意味でないと習いました。
では何か？
A↑・B↑=|A↑||B↑|cosθ　　　　　　　　　　　　（1）
ということです。cosθさえ入っていれば正解です。

従って
A↑・A↑=|A↑||A↑|cos0＝｜A↑|^2　　　　　　　　(2)　　　　　
がわかりますか。ベクトルA↑は自分自身A↑に並行であり、狭角θ＝0ということです。

もう一つ確認しておくことはベクトルの内積に関しても分配の法則および交換の法則が成り立つということです。
つまり
(A↑+B↑)・C↑=A↑・C↑+B↑・C↑ (3)
A↑・B↑＝B↑・A↑ (4)

教科書に必ず書いてあるので確認してください。

AP↑・AQ↑=(AB↑+BC↑/3)・(AB↑+2BC↑/3)
=AB↑・(AB↑+2BC↑/3)+BC↑/3・(AB↑+2BC↑/3)
=AB↑・AB↑+2AB↑・BC↑/3+BC↑・AB↑/3+2BC↑・BC↑/9
=|AB↑|^2+(2/3+1/3)AB↑・BC↑+(2/9)|BC↑|^2
=|AB↑|^2+AB↑・BC↑+(2/9)|BC↑|^2

ここまでで(2),(3),(4)を使ったのがわかりますか。

(1)はAB↑・BC↑に使います。

AB↑・BC↑＝=|AB↑||BC↑|cosθ=2×2×cos(120°)=2×2×(-1/2)=-2

以上から
AP↑・AQ↑＝|AB↑|^2+AB↑・BC↑+(2/9)|BC↑|^2=2^2-2+(2/9)2^2=26/9

回答No.3

atkh404185

なぜ、文字式
(a+1/3b)(a+2/3b)=a^2+ab+2/9b^2
と同じように計算（掛け算）できるのかですが・・・、

成分を使って、証明することができます。

→a=(a₁，a₂)、→b=(b₁，b₂)、→c=(c₁，c₂)、→d=(d₁，d₂) とします。

このとき、
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
と同じように
(→a+→b)・(→c+→d)=→a・→c+→a・→d+→b・→c+→b・→d
と、計算ができるのは、

まず、左辺ですが、
→a+→b=(a₁，a₂)+(b₁，b₂)=(a₁+b₁，a₂+b₂)
→c+→d=(c₁，c₂)+(d₁，d₂)=(c₁+d₁，c₂+d₂)
だから、
(→a+→b)・(→c+→d)=(a₁+b₁，a₂+b₂)・(c₁+d₁，c₂+d₂)
=(a₁+b₁)(c₁+d₁)+(a₂+b₂)(c₂+d₂)
=a₁c₁+a₁d₁+b₁c₁+b₁d₁+a₂c₂+a₂d₂+b₂c₂+b₂d₂ ・・・・・・ (1)
となります。

次に、右辺ですが、
→a・→c+→a・→d+→b・→c+→b・→d
=(a₁，a₂)・(c₁，c₂)+(a₁，a₂)・(d₁，d₂)+(b₁，b₂)・(c₁，c₂)+(b₁，b₂)・(d₁，d₂)
=a₁c₁+a₂c₂+a₁d₁+a₂d₂+b₁c₁+b₂c₂+b₁d₁+b₂d₂
=a₁c₁+a₁d₁+b₁c₁+b₁d₁+a₂c₂+b₂c₂+a₂d₂+b₂d₂　・・・・・・ (2)
となります。

(1)、(2) より
(→a+→b)・(→c+→d)=→a・→c+→a・→d+→b・→c+→b・→d
が成り立ちます。

これから、文字式の計算（掛け算）
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
と同じように計算することができます。

式が見ずらいかもしれませんが・・・。

回答No.2

shintaro-2

>ベクトルの内積がベクトルの掛け算の意味でないと習いました。しかしこんな問題があります。

「掛け算」という言葉の意味合いが
ha55ribo_ さんの考えていることと、多分違います。

Aベクトルが（Ｘ［Ａ］、Ｙ［Ａ］）
Ｂベクトルが（Ｘ［Ｂ］、Ｙ［Ｂ］）の時
内積Ａ・Ｂ＝Ｘ［Ａ］×Ｘ［Ｂ］＋Ｙ［Ａ］×Ｙ［Ｂ］と
成分の掛け算となります。
内積Ａ・Ｂはベクトルではなくスカラーとなります。

>よって…の後から、代入をして普通に掛け算をしています。なぜですか？

括弧をはずす段階では、普通の掛け算と同じく文字として扱うからです。

回答No.1

noname#215361

ベクトルABとベクトルABのなす角は0°、ベクトルBCとベクトルBCのなす角も0°であり、cos0°=1なのでこの1が式の中では省略されているからです。