ベクトルポテンシャル、スカラーポテンシャルの任意性

質問

数学的な説明をお願いします。

参考書に、「物理とは現象においてその背後にある現象を解明しようとする。」
例として、電場E→に対してもその背後に電位φの存在があり、E→はφの勾配ベクトルから求められる。

電場は傾きであり電位は高さということから力学でいうとF→とUの関係と同じような考え方ができるのと、偏微分で実際に求められることからこういうことを言っているところまでの理解はできました。
ここまではいいのですが、次です!!

これらのことから次のようにまとめられる。
●静磁場
diV H→ = 0→　より、 H→ = rot A→
を満たすA→が存在する
(Aには∇fを足しても成り立つ任意性がある。)
●静電場
rot E→ = 0→より、　E = -grad φ
を満たすφが存在する。
(φには定数Cを足しても成り立つ任意性がある。)

とまとめてありました。
公式からdiv(rot f ) = 0という関係から
div H → = 0 というのはつまり、　div(rot A→)=0という存在があるんだよ。
rot E→ = 0 というのはつまり、　rot(grad f ) = 0という存在があるんだよ。

という意味合いをまず説明しているんですよね？
でもここでの補足説明で
(Aには∇fを足しても成り立つ任意性がある。)
(φには定数Cを足しても成り立つ任意性がある。)

という意味合いをちゃんと理解していません。

どういうことなのでしょうか。とりあえず意味合いとしてはAという値に上記の条件を考えても計算結果は変わらないよということを言っているのはわかるのですがどうして静磁場では足してもよい値がナブラの関数で静電場では定数を足しても変わらないということだけが言い切れるのでしょうか。

恥ずかしながらわかりませんがとても大事なことを説明しているのではないかなと思って理解したく存じます。

わかりやすくご説明いただければ幸いです。
何卒よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

・Aには∇fを足しても成り立つ任意性がある。

B=A+∇fに対してrotをとると

rotB=rot(A+∇f)=rotA+rot(∇f)=rotA+rot(gradf)

ベクトル解析のどんなきゅか所にも出ていますが一般にスカラーfについて演算rot(grad)
は0になります。つまり

rot(gradf)≡0 (1)

なのです。よって

rotA=rotB

つまりAにいかなる∇fを足したBもrotをとるとrotAに等しくなるということです。

(1)の照明は例えば下記のurlを見てください。

http://cr.math.sci.osaka-u.ac.jp/~y-wakasugi/homepage/kobe2014/note10.pdf

・φには定数Cを足しても成り立つ任意性がある

これはもっと簡単な話で

ψ＝φ+Cとすると

gradψ=grad(φ+C)=gradφ+gradC

gradはスカラーの傾きを表すもので定数Cというフラットな分布に傾きはないというのが

gradC=0

を与えます。つまり

gradψ=gradφ

です。Cはあろうがなかろうがgradをとれば消えるということです。これもどんな教科書にも出てますので確認してください。あえて計算すれば

gradC=i∂C/∂x+j∂C/∂y+k∂C/∂z

i,j,kはx,y,z方向の単位ベクトルです。Cは定数なのでx,y,zによる微分はいずれも0ということで

gradC＝0です。

お礼

いつも早速のお返事、ならびご指導誠にありがとうございます。
素人にも理解できる教え方ができる人が本当に理解している人だということをよく耳にしますが正にそれで、こうして物理や数学の中身を熟知していらっしゃるだけでなく理解を人に伝えることができる頭の良さに大変尊敬いたします。

また、恥ずかしながらつたない言葉で質問をする機会がございますがその際はお時間がございましたら是非ご指導の程お願い申し上げます。

本当にありがとうございました。