不定積分

質問

x/(x+1)(x2+1) の不定積分教えてください。

回答No.3

eliteyoshi · ベストアンサー

x/(x+1)(x2+1)をまず部分分数展開します。方法は、No.1さんの方法と同じで、

x/(x+1)(x2+1)
=(1/2){(x+1)/(x^2+1)-1/(x+1)}
=(1/2){x/(x^2+1)+1/(x^2+1)-1/(x+1)}

だから、

∫x/(x+1)(x2+1)dx
=(1/2)∫{x/(x^2+1)+1/(x^2+1)-1/(x+1)}dx
=(1/2)∫x/(x^2+1)dx+(1/2){∫1/(x^2+1)dx-∫1/(x+1)dx}

ここで、
∫x/(x^2+1)dx
=(1/2)∫2x/(x^2+1)dx
=(1/2)∫(x^2+1)'/(x^2+1)dx
=(1/2)log(x^2+1)+C'
であり、さらに
∫1/(x^2+1)dx
=tan^-1(x) (※tan^-1はアークタンジェント)
だから、

∫x/(x+1)(x2+1)dx
=(1/4)∫log(x^2+1)+(1/2){tan^-1(x)-log|x+1|}+C
(C:積分定数)

となります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

mirage70

{∫x/(x^2+1)+∫1/(x^2+1)-∫1/(x+1)}/2

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

x/(x+1)(x2+1)＝a/(x+1)+(bx+c)/(x^2+1)
となるa,b,cを求めて

a/(x+1)+bx/(x^2+1)+c/(x^2+1)
の不定積分を求めてください。

なお、逆三角関数を知らなければ、不定積分は求まりません。

お礼

ありがとうございました。