解の十分性確認方法について

質問

• 解の十分性を確認するための方法や質問の解の示し方を説明します。
• 解の十分性の確認には、数式を変形することで解の数や特性を求めることができます。
• 具体的な問題においては、式の性質やグラフを考察することで解の十分性を導くことができます。

回答No.3

tmpname · ベストアンサー

先ず、(1)は、「x + y = 2, xy = -1の時 x - yの値を求めよ」
という問と同じなのはよいでしょうか。
というのは、-1/x = y とおくと、確かにx + y = 2, xy = -1であって、逆にx + y = 2, xy = -1を満足する(x, y)は、x - 1/x = x + y = 2を満たすから、
「x - 1/x = 2」というのと、「あるyが存在して、x + y = 2かつxy=-1」というのは同値です。

こうすると、普通(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy と計算して、この場合8ですが、この8 (= (x+y)^2 - 4xy )に対し、β = √{(x+y)^2 - 4xy}とおいた時、 x-yがβ と-β両方取り得るか、というのが問題になっている。

所で、x = {(x+y) + (x-y)} / 2, y = { ( x+y) - (x-y)} / 2なので、x+y, x-yの値からxとyが分かる。そうするとこれからxyの値が分る。
つまり、 x+y = 2, x-y = ±βとおいたとき、xy=-1となれば問題がないことになるが、これは問題が無いことがすぐに分る。実際、

xy = [ {(x+y) + (x-y)} / 2 ] * [ ( x+y) - (x-y)} / 2]
= (1/4) {(x+y)^2 - (x-y)^2} = (1/4) (4 - β^2) = -1
となる（今の計算で結局βでなくβ^2しか使わないことが重要）。

で、結局 x+1/x = x-yはβ と-β両方取り得ることが分る。

結局十分性を示すというのは、必要性を調べるときは「XXXXならばYYYYしかない」というのと逆に「逆にYYYYYならば確かにXXXXを満す」みたいなことを言う事ですから、こういう風に「逆に解く」みたいな事が必要になることが多くあります。今の場合は、x+yとx-yの値からxとyを逆に解いています。ただし、xとyの値自体は使ってません。

因みに、x = {(x+y) + (x-y)} / 2というのは時々使います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞ x = {(x+y) + (x-y)} / 2, y = { (x+y) - (x-y)} / 2
この式はちょっと（いや、かなり）違いますが三角関数の積分公式（和と積）に
登場するものと形がよく似ています。あの公式、少しなじみが出ました。
（ sin(x+y)=sinx cosy+siny cosx ／ sin(x-y)=sinx cosy－siny cosx ）
それから１変数の式をわざわざ２変数の式に変換する手法、びっくりしました。
（逆の変数を減らすのはよく経験しますが）
ご教示いただいた方式で x-a/x=bの一般形でも成り立つことを確認しました。
x+1/xはｘと1/xを入れ替えても同じでx-1/xは入れ替えると符号が逆になること
複素平面でzz'(bar)=1との関係などご回答の内容と深い関係があるように
思います、等いろいろ考えさせていただきありがとうございました。