解の十分性確認方法について

質問

• 解の十分性を確認するための方法や質問の解の示し方を説明します。
• 解の十分性の確認には、数式を変形することで解の数や特性を求めることができます。
• 具体的な問題においては、式の性質やグラフを考察することで解の十分性を導くことができます。

回答No.2

noname#215361

(1)については、次の考察が必要かと思われます。

（x-1/x）^2=x^2-2+1/x^2=4よりx^2+1/x^2=6
この関係は、x-1/x=-2としても全く等しい、つまりx-1/x=2という限定条件が消えてしまったことになります。

x-1/x=2の両辺にxを掛けて整理すると、
x^2-2x-1=0
これから、x=1±√2

・x=1+√2のとき、
x+1/x
=1+√2+1/（1+√2）
=1+√2+（1-√2）｛（1+√2）（1-√2）｝
=1+√2-（1-√2）
=2√2

・x=1-√2のとき、
x+1/x
=1-√2+1/（1-√2）
=1-√2+（1+√2）/｛（1-√2）（1+√2）｝
=1-√2-（1+√2）
=-2√2

また、x-1/x=-2の両辺にxを掛けて整理すると、
x^2+2x-1=0
これから、x=√2±1

・x=√2+1のとき、
x+1/x
=√2+1+1/（√2+1）
=√2+1+（√2-1）/｛（√2+1）（√2-1）｝
=√2+1+（√2-1）
=2√2

・x=√2-1のとき、
x+1/x
=√2-1+1/（√2-1）
=√2-1+（√2+1）/｛（√2-1）（√2+1）｝
=√2-1+（√2+1）
=2√2

よって、x=√2±1のとき、x+1/x=2√2

以上から、x-1/x=2としたときのx+1/xの値2√2が、x-1/x=-2としたときのx+1/xの値2√2と等しいので、
答えはこれを除いたx=1-√2のときのx+1/x=-2√2
（これでは解き方ですか？）

お礼

ご回答ありがとうございます。
その中のx-1/x=－2（x^2+2x-1=0）の解はx=√2±1ではなく－1±√2ではないでしょうか？
この場合 x=－1+√2のときはx+1/x＝2√2，x=－1-√2のときはx+1/x＝－2√2で
x-1/x=2のときと同じになります。

x-1/x=2・・・(1)
x^2-2x-1=0・・・(2)
x=1±√2・・・(3)
この(1)(2)(3)はどれも同値なので「x-1/x=2のとき」というのは
「x=1+√2またはx=1-√2のとき」とおなじでそれらを代入した
「x+1/xは±√8」というのが（(2)を活用した）答えと思います。

(x+1/x)^2=8からの２つのx+1/xの値について
(2)の解をα，βとするとαβ=－1よりα+1/α=β+1/β⇒α=βなので
(2)の異なる解をx+1/xに与えると異なる結果になり x+1/x は２つの値をもち
必要条件として求めた二つの値 x+1/x=±√ 2は十分条件でもある
と考えられますが、この(2)の式を積極的に活用しない十分条件を示す方法の教示が
質問の意図です。

どうもありがとうございました。