粘性抵抗と慣性抵抗を考慮した運動方程式

質問

半径ａの球体の物体が粘性抵抗ｎ、密度ｑの流体中を速度ｖで運動する場合、浮力を無視し、流体からうける粘性抵抗fvと慣性抵抗fiを考えにいれると、運動方程式は　ｍ・ｄｖ/ｄｔ＝－(mg・ez＋fv＋fi）ただし、ｖはベクトル、ezはｚ方向の単位ベクトルである。また、fv＝6πanvt、fi＝πqa^2vt^2/4　（vtは終端速度）となる、とありました。でもこの微分方程式が解けません。教えてください。可能な限りで途中の式もお願いします。

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

こんな構図ですね？

↑浮力(今は無視) D
↑流体をかき分ける慣性による抵抗力 = πa^2q/4・V^2
↑流体の粘性による抵抗力 = 6πaη・V
●
↓
地球に引かれる力 = mg = 駆動力

　運動方程式は、
　　m dV/dt = -πa^2q/4・V^2 - 6πaη・V + mg
係数がめんどいから一文字にします。
　　－dV/dt = AV^2 + BV - C
変数分離できるから

　　　　　dV
　　─────── = －dt
　　　(AV^2+BV-C)

分母の判別式； -B^2-4AC＜0 ゆえ、積分結果は対数型。
　　D = √(B^2+4AC)
とおいて、
　　 1　　　 2AV+B-D
　　─・log───── = －ｔ
　　 D　　　 2AV+B+D

これを V= の形にするのは簡単だから自力で。

　なお、「終速度だけを求めよ」なら、
終速度は一定速度ゆえ dV/dt=0 つまり左辺=0。ゆえに積分でもないただの二次式の根の公式です。

（昼休み過ぎたのでここまでにします。積分の考え方などは数学板で。）

お礼

丁寧で親切な解答ありがとうございました。v=の形には無事することができました。これでレポートが書けます。本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#108554

右辺は定数ですよね?
両辺をtで積分しましょう。