細長い物体のストークス抵抗

質問

いつもお世話になります。

粘性率ηの流体中を速度vで移動する半径rの球状物体の受ける抵抗力Rは、
R＝6πηrvで表されますが、物体が完全な球体でなく細長い物体(例えば円筒や回転楕円体、アスペクト比で1:100など)の場合、抵抗力Rはどのように考えればよいのでしょうか。
流体中には荷電粒子などは存在せず、細長い物体は変形しないと考えています。
厳密な値を知りたいわけではないので、Rのおおよその値を計算する方法があれば併せて教えてください。
よろしくお願い致します。

回答No.1

IrGacria

歴史的に重要な問題です。だから、答えをダイレクトに書きたくありません。答えが知りたければ、流体力学の教科書には大抵載っていますしね。

粘性流体の運動はナビエ＝ストークス方程式で記述できます。ナビエ＝ストークス方程式か慣性項を取り除いた近似をストークス近似といいます。ストークス近似が成り立っているとして、速度ポテンシャル（の級数展開）から速度／圧力を求め、物体表面に作用する力を求めることで、物体のストークス抵抗を求めることができます。

さて、細長い円筒状物体が、その対称軸に対して垂直方向に動くならば、対称性からして２次元（断面）で考えればよいと想像できます。球状物体の時と同じように計算してみてください。　たしかに、答えらしきものは出ますが、その答えは本当に正しいでしょうか？

無限遠で辻褄が合わないんじゃないですか?

これを、Stokes のパラドックスと言います。
このパラドックスは Oseen によって解決されています。

お礼

回答ありがとうございました！