数学２元１次不定方程式

質問

14x+11y＝700を満たす正の整数xとyの組を求めよ

ユークリッド使って解くと思うのですが・・・
ユークリッド以外の方法もあれば教えて欲しいです。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

何も考えずに
14x+11y=700
を見ればyは14の倍数だとわかるので、ためしにy=14を代入してみるとx=39となる。
つまり(x,y)=(39,14)は解のひとつである。
ここで14と11は互いに素であるからyを14だけ大きくして、xを11だけ小さくしていく。
そうすると解として(x,y)=(28,28),(17,42),(6,56)が見つかる。

回答No.3

nobuyuki0505

別にユークリッド使わなくても解ける問題ですよ。

なぜなら、右辺700が14の倍数だからです。

つまり、y=0の場合の解が存在するわけです。この場合は、x=700/14=50が解の一つであり、

(x,y)=(50,0)

が特殊解であることがわかります。

特殊解がわかれば、一般解を求めるのは典型的なので、教科書を見ながらやってみてください。

ユークリッド以外の方法、ですが、

本質的には同値な解き方ですが、見た目がちょっと違う解き方を説明します。

右辺700が14の倍数だからこそ、使える方法です。

まず、式変形。

14x - 700 + 11y = 0.

14で前半をくくります。

14(x-50) + 11y=0

14(x-50)=-11y

後は、通常の解き方と同じ。

x-50が11の倍数だから、

x-50=11n

よって、

y=-14n

x=11n+50, y=-14n

これは特殊解を明示せずに、一般解を求めているわけですね。

回答No.1

178-tall

参照URLの「格子点の個数」 p.2 の 《別解》など？

でも「一解」を求めるには、やはり「ユークリッド」ですかネ。

まず、11x+14y＝1 の「一解」。
　k*14 {1*14, 2*14, 3*14, …}
を 11 で割ったとき、余りが 1 になる「定数 k」を探しあてて、xo = (1-k*14)/11 として求める。
その「一解」{x, y} は、
　{xo, k} = {-5, 4}

11x+14y＝700 の「一解」は、
　700*{xo, k}

参考URL：

http://www.osaka-c.ed.jp/shijonawate/pdf/yuumeimondai/suuretu_11.pdf