- ベストアンサー
力学について
mdv/dt=-mg-mkv^2をt=0で初速度V＞０で投げたときｖについて解くと ｖ＝V－√(g/k)tan(√gk*t)/1+V√(k/ｇ)tan(√gk*t) となるよう証明していただきたいです。 大変わかりにくい表記になってしまいましたがどうかご回答お願いします。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 微分方程式で式の変形 空気抵抗を受ける物体の落下
質量mの物体が速度の2乗に比例する空気の抵抗を受けながら落下する問題を考えよう。 鉛直上向きにy軸をとり、時間をtとすると、速度はdy/dtで表される。重力加速度の大きさをg, 抵抗力を係数をkとすると、運動方程式は次のようになる。 m (d^2y)/(dt^2) = -mg + k(dy/dt)^2 この方程式にはyが含まれていない。 速度を v = dy/dt とおけば、(d^2y)/(dt^2) = dv/dt であるから、運動方程式(2.19)は次のようにvについての1階の微分方程式に帰着される。 dv/dt = -g + k/m v^2 (2.20) この微分方程式は、次のように変数分離形の1階常微分方程式であり 1/ (v^2 - mg/k) dv/dt = k/m 両辺をtで積分すると 1/{2√(mg/k)} ∫[1/{(v-√(mg/k)} - 1/{(v+√(mg/k)}] dv = k/m ∫dt log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C (2.21) ここで、t=0 で v=0 として物体の落下だけを考えることにすると、y軸は鉛直上向きを正の方向としているので t>0 では v=dy/dt<0 dv/dt<0 となる。 したがって、式(2.20)から0<-v<√(mg/k)であることがわかり、式(2.21)からvは次のようになる。 v=dy/dt = -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t - C}] / [1+e^{-2√(kg/m)t - C}] (2.22) ・・・と本に書いてあるんですが、どうやってこの(2.22)を導き出したのかが分かりません。 勘でやってみますと、 log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C (2.21) の両辺でeをとって e^[log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}|] = e^{2√(kg/m)t + C} |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = e^{2√(kg/m)t + C} |{v-√(mg/k)}| = e^{2√(kg/m)t + C} * |{v+√(mg/k)}| やっぱり分かりません。教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 物理の微分方程式
物理の微分方程式 高二です。塾で微分方程式を習ったのですが、さっぱりです。。。。 問 質点が速度Vに比例する抵抗力を受けて運動する際、V（ｔ）、X（ｔ）を求めよ。ただし、比例定数をｋ（>０）とする。 解 ma = mg-kv --1 a = dv/dt --2 v = dx/dt --3 1,2より dv/dt = g-kv/m よって dv/dt = -k/m(v-mg/k) ---4 ←変数分離型 (1/v-mg/k)dv = -k/m dt ----5 ここから積分して、計算して log{v(t)-mg/k} = C-kt/m ----6 (C=log{v(0)-mg/k}) {}は絶対値 そして {v(t)-mg/k} = e^C -e^-kt/m -----7 その後 v(t)=mg/k(1-e^-kt/m)(t≧０) となりました 質問 (1)初期条件ってなんですか？ (2)4→5の過程はなぜやるんですか？変数分離型ってなんですか？ (3)6→7の過程でなぜlogがとれるんですか？ (4)よければx(t)の答えを教えて下さい とても困っています！部分的でもよいので教えて下さい、お願いします
- ベストアンサー
- 物理学
- 割と至急お願いします。力学の問題です。
質量mの物体を初速度v0で鉛直上方に投げ上げたとき以下の問いに答えよ。ただし重量加速度の大きさをg、鉛直上向きにy軸をとるものとする。なお、必要なら速度vに対してdv/dt=(dy/dt)(dv/dy)=vdv/dyとなることを用いよ。 (a)物体に摩擦による抵抗が働かないとき、物体の最高点での高さを求めよ。 (b)物体に速度に比例する摩擦力mkvが働くとき(kは正の定数)、物体の最高点での高さを求めよ。 (c)物体に速度の二乗に比例する摩擦力mk'v^2が働くとき(k'は正の定数)、物体の最高点での高さを求めよ。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 力学の問題 やり直し
前回力学の問題をチェックしてもらってもう一度やってみたのですがうまくいきません。指南をおねがいします 問題 幅δの幅をもつ連続なポテンシャル Ｖδ＝{０（ｘ＜０） {-V0x/δ（0≦x<δ） {ーＶ0 (δ≧ｘ) のもとで運動する質量ｍの運動をニュートンの運動方程式を解いて考えｘ＝０で速度ｖ0であったときｘ＝δでの速度ｖ’δを求めδ＝０としてｖ’を求めよ 回答 F=-dU/dxと運動方程式より mdv/dt＝d(-V0x/δ)/dx m∫dv(０からδ)=-(V0/δ)∫dt（０からｔ） m(vδ-v0)=-(V0/δ)t ここからのtの求め方がわかりません
- ベストアンサー
- 物理学
- 力学の問題です。
質量Mの容器が滑らかな水平面上に静止しており、中に質量Mｗの流体が入っている。 （総質量M+Mw） 容器内の流体を進行方向とは逆向きに噴射させることができる。単位時間あたり一定のｋ の流体が容器に対する大きさUの一定の相対速度で噴射される。 容器と容器中の流体の総質量が時間とともに変化することを考慮して、容器の運動方程式を 導きなさい。 という問題なのですが、 時刻ｔにおける容器と容器中の流体の総質量はM+Mw-kt 時刻tにおける容器の速度をｖ、時刻t+⊿tにおける容器の速度をv+⊿ｖとして、 運動量保存より (M+Mw-kt-k⊿t)(v+⊿v)+k⊿ｔ(U-v)-(M+Mw-kt)ｖ=0として -kv⊿t+(M+Mw-kt-k⊿ｔ)⊿ｖ+k⊿ｔ(U-v)=0 ⊿ｔで割り -kv+(M+Mw-kt-k⊿ｔ)⊿v/⊿ｔ+k(U-v)=0として ⊿ｔ→0の極限をとると -kv+(M+Mw-kt)dv/dt+k(U-v)=0 となり導けたのかなと思うのですが、不安です。 この計算方法で合っていますか？ 分かる方教えてください。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- すぐに回答を!運動方程式が解けません
運動方程式mdv/dt=mg-kvを、初期条件t=0でv=0として解き、速度vを時間tの関数として表せ。 上記の解き方がわかりません。 相当悩んで考えましたが、わからないので、物理が苦手な私にも理解できるような解説をお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 微分方程式
とき方が良くわからないのでわかりやすく回答していただけると嬉しいです。 (1)終端速度を求める問題です mdv/dt=mg-av dv/｛(mg/a)-v｝=a/m dt 上の式が下の式と同じなのはわかるのですが、左をvの式・右をtの式にするなら mdv/(mg-av^2)=dtで問題ない気がするのですが、なぜここで終わりにしなかったのでしょうか？ (2)ばねの問題 m(dx)^2/dt^2 =-kx をとくには dsinwx＝wcoswt 、 dcoswx＝-wsinwx （ｗはオメガです） がヒントになると書いてあるのですがこういうのって普通にといていて思いつくものなのでしょうか？それとも一度どこかで聞いて理解し、機械的にこれを利用しているのでしょうか？ (3)微分方程式が良くわからないのでとく際のpoint等あれば教えてください よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 物理学
- 力学の問題。
慣性モーメントIをI=2/5・mR^2に訂正しました。 質量をｍ、最上点の速度をｖとおく。（最下点は大文字のV） 慣性モーメントIはI=2/5・mR^2、また、v=Rωよりω=v/Rから、 回転体の持つエネルギーTは、 T=Iω^2/2=1/2x2/5・mR^2x(v/R)^2=mv^2/5 位置エネルギーはmgx(2R-2r), エネルギー保存則より, 2mg(R-r)+mv^2/5+mv^2/2 = mV^2/5+mV^2/2 V^2 = 20/7・g(R-r)+v^2 遠心力Fは、F=mv^2/R 遠心力から重力を引いた力が垂直抗力Nとなるので、 N = mv^2/R - mg N=0とすると、0 = mv^2/R - mg mg = mv^2/R v^2 = Rg v = √Rg これを式に代入すると、V^2 = 20/7・g(R-r)+Rg よって、V = √20/7・g(R-r)+Rg まだ間違っている部分があったら教えてください。 お願い致します。
- ベストアンサー
- 物理学
- 力学 ロケットの運動
時刻tの質量がM(t)であるようなロケットが一定の相対速度v'<0でガスを噴出しながら加速している状況を考える。ロケットの質量変化率dM/dtは一定(μ<0)であるとする。重力や抵抗力は無視する。 (1)地上の観測者から見たロケットの速度v(t)をとして、ロケットに関する運動方程式を導け。 (2)t=0のロケットの質量がM_0、速度が0であった。時刻t(0<t<M_0/-μ)における質量M(t)と速度v(t)を求めよ。 という問題で、(1)は運動量保存よりM(dv/dt)=v'(dM/dt) であることはわかったのですが、(2)の質量M(t)が分かりません。 どのようにしたらよいですか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 航空機の運動について
はじめまして。 現在航空機について学んでいるのですが、 航空機が離陸する場合の運動方程式 mdv/dt=T-D T:推進力 D:抗力 v:飛行機速度 ※航空機タイヤと滑走路との摩擦を無視した場合。 となると思うんです。この運動方程式を自分で解いてみた結果、 v=√a*tan(b*t) ※a,bは推進力や抗力に関する係数をまとめたもの という形で表せたんですが、速度がtanの関数として表されてしまったため、 離陸するのに必要な時間が大変短くなってしまい、現実的ではないと思うのですが、 この形は間違っているのでしょうか。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
お礼
とても丁寧な回答ありがとうございます。今迄見たことがないくらい完結で公式まで書いて頂いて本当に感謝しきれない限りです。本当に助かりました。