極限を求める問題です

質問

lim[x→0] (e^x*sinx - x)/x^2
という問題なのですが
lim[x→0] (e^x*sinx - x)/x^2
=lim[x→0] e^x/x * (sinx)/x - x/x^2
=lim[x→0] e^x/x * (sinx)/x - 1/x
= 0*1-0
=0
のように分解して,極値を求める解法を使ってもよろしいのでしょうか。
もし駄目でしたら、この問題の解き方をご教授お願いします

回答No.1

noname#212313 · ベストアンサー

分離してもいいのですが、x→0のとき、e^x/x→∞、(sinx)/x→1、1/x→∞ですから、無限大は計算できませんので、お示しの計算通りにはなりません（。

　求めたい極限の式を見てみます。

(e^x*sinx - x)/x^2

　こういうf(x)/g(x)の形の極限を求めたいとき、ロピタルの定理という強力な方法があります。

http://mathtrain.jp/lhopital

　f(x)/g(x)で直接求められないなら、分母分子を微分してf'(x)/g'(x)で求めればいいということです。f'(x)/g'(x)でもまだ駄目なら、また微分してf''(x)/g''(x)にして求めればよいです。

　お示しの式の分母を微分してみます。

　(x^2)'=2x

　これではx→0で0になります。分母が0では求められません。もう一度微分すると、

(2x)'=2

となります。xと無関係に2ですから、これで大丈夫そうです。

　分母を2回微分しましたから、分子のほうも2回微分します。

(e^x*sinx - x)'=e^x*sinx+e^x*cosx - 1
(e^x*sinx+e^x*cosx - 1)'=e^x*sinx + e^x*cosx + e^x*cosx - e^x*sinx

　これでx→0をx=0としてみると、

e^0*sin0 + e^0*cos0 + e^0*cos0 - e^0*sin0=e^0 + e^0
=e^0cos0 + e^0*cos0　←sin0=0
=e^0 + e^0　←cos0=1
=2　←e^0=1

となります。無限大といたことになりませんでしたから、これで大丈夫です。

　したがって、与式のx→0の極限では、2/2=1となります。

回答No.2

noname#232123

f(x)={e^x*sin(x) - x}/x^2
をｘ＝０のまわりで展開してみます。

e^x*sin(x)={1+x+x^2/2!+x^3/3!+...}{x-x^3/3!+x^5/5!-...}
x+x^2+(1/3)x^3 - (1/30)x^5+...

となりますから、
f(x)=1+(1/3)x - (1/30)x^3+...
であり、ｘ→0のとき、f(x)→1.
となります。