境界における差分公式

質問

現在，微分方程式を数値解析にて解いております．

普通の差分公式については，検索して見つけることができたのですが，境界における二階微分を表す方法がわかりません．
∂f(j)/∂x=(1/2Δ)*f(－3f(j)+4f(j+1)-f(j+2)　というような，1階微分での表し方は見つかりましたが，そもそもこれの導出もよくわかりません．

どなたか，教えていただけないでしょうか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

境界における二階微分をどういう式で使うのかわからないが，適当に作ってみた。
∂^2f(j)/∂x^2=(1/Δ^2)*(2f(j)-5f(j+1)+4f(j+2)-f(j+3))
考え方としては
∂f(j+1/2)/∂x=(1/Δ)*(-f(j)+f(j+1))
∂f(j+3/2)/∂x=(1/Δ)*(-f(j+1)+f(j+2))
∂f(j+5/2)/∂x=(1/Δ)*(-f(j+2)+f(j+3))
から
∂^2f(j+1)/∂x^2=(1/Δ)*(-∂f(j+1/2)/∂x+∂f(j+3/2)/∂x)=(1/Δ^2)*(f(j)-2f(j+1)+f(j+2))
∂^2f(j+2)/∂x^2=(1/Δ)*(-∂f(j+3/2)/∂x+∂f(j+3/2)/∂x)=(1/Δ^2)*(f(j+1)-2f(j+2)+f(j+3))
を作って，これらの2:1の外分点として
∂^2f(j)/∂x^2=(2*∂^2f(j+1)/∂x^2-∂^2f(j+2)/∂x^2)/(2-1)
を求めます。

お礼

詳しく書いていただいてありがとうございました。

おかげで卒業できそうです。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

やり方は色々あると思いますが、自分は簡単に次のようにやってます。

　境界の一歩手前の節点の2階差分は、境界上の点0，その点1，その隣の点2から求めてると思いますが、境界上の点0の2階差分は、同じ点トリオ(0，1，2)上での3つ値を通る2次曲線は一意に決まるので、2次曲線の2次の係数を使ってます。もっと良い方法はあるでしょうが、簡単なので。

　たぶん定版の方法があるはずです。具体的にちょっと詳しい本で調べた方が良いと思います。