高1 数学

質問

5で割ると1余り、7で割ると2余る自然数のうち、2桁で最大のものを求めなさい。

解説をお願いします。

回答No.7

noname#215361

5と7の最小公倍数は、5*7=35
5と7の公倍数のうち、2桁で最大のものは35*2=70
ここで、0から99-70=29までの整数のうち、7で割ると2余るものを考えると、
7*0+2=2、7*1+2=9、7*2+2=16、7*3+2=23
このうち、5で割ると1余るものは16
よって、答えは70＋16＝86

回答No.6

Mathmi

ユークリッドの互除法が使えますね。

「5で割ると1余り、7で割ると2余る自然数」をxと置くと、
x＝5(a+7n)+1
＝7(b+5n)+2
と表せる。

この式を変形すると、
5a-7b=1
となる。

ユークリッドの互除法を用いると
-7＝5*(-1)-2
5＝(-2)*(-2)+1
ここから逆算していって
1＝5-(-2)*(-2)
＝5-{(-7)-5*(-1)}*(-2)
＝5*3-7*2

以上より
x＝5*(3+7n)+1
＝7*(2+5n)+2
と表されることが分かる。

条件よりx<=99なので
5(3+7n)+1<=99
(3+7n)<=98/5
7n<=16.6
n<=2+26/70

よって求めるxは
x＝5*(3+7*2)+1
＝5*17+1
＝86
である。

回答No.5

3322112233

5で割ると１余るのは上から96、91、86・・・7で割ると2余るのは上から93、86・・・よって86。

回答No.4

KEIS050162

もっとスマートな方法もあると思うのですが、愚直に上から攻めて行ったら、こんな感じになりました。回答案のひとつとして参考にしてください。

k, n, m は自然数とする。
kは二桁なので、
k ≦ 99

題意より、
k = 7n + 2
99　≧ 7n + 2
とすると、nは自然数だから
n ≦ 13
従って、
k ≦ 7*13 + 2 = 93

一方、
93 ≧ 5m + 1
とすると、mは自然数だから
m ≦ 18
従って、
k ≦ 5*18 + 1 = 91

再び、
91 ≧ 7n+2
nは自然数だから
n ≦ 12
従って、
k ≦ 7*12+2 = 86

更に再び、
86 ≧ 5m + 1
m ≦ 17
k ≦ 5*17 + 2 = 86

7*12+2 = 5*17 + 2 = 86 なので
86　が最大の数。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

訂正。

＞９８を７で割ると余りは２です。答えは「９８から初めて７づつ引いていった数のどれか」です。

９８を７で割ると余りは０です。計算間違えました。

９９を７で割ったら余りが１になるので、９９から６を引いて９３にすると、７で割ったら余りが２になります。

「６を引いて」としないといけないのを「１を引いて」としてしまいました。

で、答えは「９３から初めて７づつ引いていった数のどれか」です。

９３を５で割ると余り３なので除外。９３から７を引いて８６にして、８６を確かめます。

８６を５で割ると余り１なので８６が答え。

ついでなので、別の解き方。

７で割ると２余るという事は2、9、16、23、30...です。

６個目以降は「５で割った余りは、１個目以降の繰り返し」なので、考えません。

2、9、16、23、30を５で割ったあまりは2、4、1、3、0なので、３個目の16が「７で割ると余り２、５で割ると余り１」です。

なので、答えは「35ｎ＋16」です。

ｎが３だと「35×3=105」なので、ｎは２以下です。

従って「35×２＋16」、つまり「86」が答えです。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

まず「2桁で最大」ですから、６５以上９９以下です。

６５は「９９－３５＋１」より求めた値です。

「ある数」から３５を引いたり、３５をたしても「５で割った余り」、「７で割った余り」は変わりません。

なので「９９を５で割った余り、９９を７で割った余り」は「６４を５で割った余り、６４を７で割った余り」と同じになります。

つまり「６４以下は考えなくて良い」と言う事です。

言い換えれば「答えは６５以上、９９以下」です。

「２桁で最大」ですから９９から順に確認します。

９９を７で割ると、余りは１です。９９を除外します。

次に、９９から１を引いた９８を確かめます。

９８を７で割ると余りは２です。答えは「９８から初めて７づつ引いていった数のどれか」です。

９８は、５で割ると余りは３なので除外します。除外したら７づつ引いて、５で割った余りを確かめます。

「９８－７＝９１」なので９１を５で割った余りを確かめます。余りは１です。

なので答えは９１なります。

回答No.1

f272

「5で割ると1余り」--->1の位は1か6だということ。
「2桁で最大」--->96,91,86,81,...を考えればよい。
「7で割ると2余る」--->順番に確かめるだけ。