数学の問題です。

質問

(a-b)/(a+b)=1/8となる一桁の自然数a,b
を求めよ。
解説を見ても理解できません。
詳しく解説お願いしますm(__)m

回答No.1

noname#212313 · ベストアンサー

いろいろ解き方があります。

・方法１
>(a-b)/(a+b)=1/8　―(1)
8(a-b)=a+b　←両辺にa+bをかけ（左辺の分母を払う）、さらに8をかけた（同じく右辺）
8a-8b=a+b　←左辺のカッコを外した
7a=9b　―(2)

　両辺をじっと睨んで見て、7×9=9×7とできそうだと気が付く。まず、a=9, b=7があることは分かる。

　もっと小さいa, bを考えて、(2)は0=0、つまりa=0, b=0でもよさそうだが、それだと与式(1)の分母a+b=0となることから、無理だと分かる。

　もっと大きいa, bを考えてみると、aが9の倍数、bが7の倍数ならできそうと気が付く。でも、9の倍数も7の倍数も、2倍しただけで2桁になってしまう。

　だから、a=9, b=7しかない。

・方法２

>(a-b)/(a+b)=1/8　―(1)

　両辺を分数とみて、分子・分母の対応を考えると、a+b=8, a-b=1ならよさそう。

a+b=8
a-b=1

　この連立方程式を解くと、a=4.5, b=3.5となる。これは自然数になっていない。

　よく考えると分数は、分子と分母に同じ数をかけても、変わらない。だとすると、求めたa, bを何倍かしてみて、整数になればいいはずだ。なぜなら、

>(a-b)/(a+b)=1/8　―(1)

はxを1以上の自然数として、

(a-b)/(a+b)=x/8x　―(1')

でもよくて、そうすると連立方程式は、

a+b=8x
a-b=x

となる。これは、a=4.5x, b=3.5xと解ける。やっぱり、何倍かして自然数になればいい、ということで合っている。そして、小数点以下は0.5だから偶数倍すれば自然数になる。

　4.5と3.5を2倍すると9と7。まず、a-9, b=7が答の候補になる。同じく4倍すると、18と14だけど、2桁になってしまう。

　だから、a=9, b=7しかない。

回答No.3

spring135

(a-b)/(a+b)=1/8

t=a/bとすると

(t-1)/(t+1)=1/8

8(t-1)=t+1

t=9/7

つまり

a/b=9/7

これを満たす自然数a,bは

a=9,b=7

a=18,b=14

......

a,bが1ケタのものは

a=9,b=7

回答No.2

info222_

(a-b)/(a+b)=1/8
分母を払って
8a-8b=a+b
7a=9b=k (kは9以上の63以下の正の整数)
a,bは１桁の自然数であり、7と9は互いに素であるから
aは9の倍数で１桁の自然数だから　a=9
bは7の倍数で１桁の自然数だから　b=7
である。
(答)　a=9, b=7