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4次方程式を解く際に3次の項を消去する必要性

2015/01/13 10:00

最高次の係数が1である四次方程式 x⁴+ax³+bx²+cx+d=0 をフェラーリの解法で解く場合、三次の項を消去して x⁴+px²+qx+r=0 の形に持っていき (x²+k)²=(xの一次式)² となるkを探す...というのが一般的です。ところが三次の項を残した x⁴+ax³+bx²+cx+d=0 の形のままでも {x²+(a/2)x+k}²=(xの一次式)² となって同様に解に辿り着くことができます。実際にちょっとやってみます。 (1)三次の項を消す場合 x⁴+px²+qx+r=0 (x²+k)²=k²+2kx²-px²-qx-r 　　　　=(2k-p)x²-qx+k²-r D=q²-4(2k-p)(k²-r) 　=-8k³+4pk²+8rk-4pr+q² 　=0 三次分解方程式：k³-(p/2)k²-rk+pr/2-q²/8=0 (2)三次の項を残す場合 x⁴+ax³+bx²+cx+d=0 {x²+(a/2)x+k}²=(a²/4)x²+k²+2kx²+akx-bx²-cx-d 　　　　　　　　 =(2k-b+a²/4)x²+(ak-c)x+k²-d D=(ak-c)²-4(2k-b+a²/4)(k²-d) 　=-8k³+4bk²+(8d-2ac)k-4bd+c²+a²d 　=0 三次分解方程式：k³-(b/2)k²+(-d+ac/4)k+bd/2-c²/8-a²d/8=0 比較するとあまり変わらないばかりか、(1)では変数変換分の手間が掛かっています。にもかかわらず解法の説明では必ずと言っていいほど三次の項を消すところから始まるのですが、4次方程式でチルンハウス変換（カルダノ変換？）するメリットはあるのでしょうか。